Numerické metódy

1714, 4-ročné Bc. štúdium

školský rok -- 2005/2006, ZS sem.

doc. RNDr. Vladimír Olejček, PhD.

• vladimir.olejcek@stuba.sk

Stručná osnova predmetu

• 1) Úvod. Charakterizácia numerických úloh a problém odhadu chýb numerických výpočtov. Klasifikácia chýb. Množina počítačových čísiel, aritmetika v množine počítačových čísiel. Odhad chýb vyhodnocovania funkcií (jednej aj viac premenných). 2) Numerické riešenie rovníc. Metóda bisekcie, metóda jednoduchých iterácií, Newtonova metóda a jej modifikácie. Rád metódy, podmienky konvergencie. 3) Priame metódy riešenia systému lineárnych rovníc. Gaussova eliminačná metóda a jej modifikácie, metóda LU rozkladu. Numerické invertovanie matice 4) Iteračné metódy riešenia sústavy lineárnych rovníc. Jednoduchá iteračná metóda, Jacobiho a Gaussova - Seidelova metóda. Odhady chýb a podmienky konvergencie týchto metód. 5) Numerické metódy na hľadanie vlastných čísiel matíc. Odhad polohy vlastných čísiel. Mocninová metóda. Metóda LU rozkladu. 6) Vlastnosti ortogonálnych matíc. Metóda QR-rozkladu, Jacobiho metóda. 7) Aproximácia interpoláciou. Pomerné diferencie a ich vlastnosti, Lagrangeov interpolačný polynóm, Newtonov interpolačný polynóm a jeho modifikácie. 8) Aproximácia metódou najmenších štvorcov. Analytické a algebraické odvodenie systému normálnych rovníc, otázky numerického riešenia tohto systému, rôzne triedy aproximujúcich funkcií. Linearizácia modelov. 9) Numerická kvadratúra. Newtonove-Cotesove vzorce. Otvorené a uzavreté formuly a ich chyby. Numerická kvadratúra Richardsonovou extrapoláciou, Rombergova metóda.

• 10) Diferenciálne rovnice. Začiatočné podmienky. Separovateľné premenné. Lineárna diferenciálna rovnica I. rádu. Smerové pole dif. rovnice. Cauchyho úloha. Existencia a jednoznačnosť analytického riešenia Cauchyho úlohy y' = f(x,y). 11) Jednokrokové metódy na numerické riešenie Cauchyho úlohy y' = f(x,y). Eulerova metóda a jej modifikácie. Metódy typu Rungeho - Kuttu. 12) Viackrokové metódy na riešenie Cauchyho úlohy y' = f(x,y). Metódy založené na Newton-Cotesových vzorcoch. Adamsove formuly. Všeobecná lineárna metóda. Metódy typu prediktor-korektor.

Literatúra

• a) zahraničná:

• Ralston,A.: Základy numerickej matematiky, Academia, Praha, 1976. Yakowitz,S.-Szidarosszky,F.: An Introduction to Numerical Computations, Macmillan Publ.Co., New York, 1990.
  • b) domáca:
  Riečanová,Z. a kol.: Numerické metódy a matematická štatistika, Alfa, SNTL, Praha, 1987. Míka,S.: Numerické metódy algebry, SNTL, Praha, 1985. Přikryl,P.: Numerické metódy analýzy, SNTL, Praha, 1985.

Podmienky na zápočet

• Získať aspoň 20 zo 40 možných bodov za aktivitu počas semestra, z ktorých 20 bodov sa dá získať za programovanie na PC, 15 bodov z priebežného testu a 5 bodov za ostatnú individuálnu aktivitu.

Výsledky

[attachment:NMtestvysl.xls Výsledky priebežného testu z NM]