Matematika 1 BB opakovaná

2006/2007 -- letný semester, rozsah 4-1

Vyučujúci

• doc.RNDr.Ladislav Satko, PhD. ladislav.satko@stuba.sk

• doc.RNDr.Ľubomír Marko, PhD. lubomir.marko@stuba.sk

Stručná osnova predmetu

1. Komplexné čísla, polynómy, rozklad racionálnych funkcií na elementárne zlomky.
2. Eliminačné metódy riešenia systémov lineárnych rovníc, matice, operácie s maticami, regulárne a singulárne matice, inverzná matica.
3. Determinant matice a jeho základné vlastnosti.
4. Vektory v 3-rozmernom priestore, skalárny, vektorový a zmiešaný súčin. Priamky a roviny v priestore.
5. Reálna funkcia reálnej premennej, spojitosť a limita funkcie.
6. Diferencovateľnosť funkcie, lokálne extrémy, priebeh funkcie.
7. Taylorova veta, Taylorov rad, derivácia inverznej funkcie, elementárne funkcie a ich základné vlastnosti

Otázky ku skúške

1.Komplexné čísla. Algebraický a goniometrický tvar, absolútna hodnota, komplexne združené číslo, Moivreova veta, binomická rovnica.

2.Polynómy. Jednoznačnosť koeficientov, stupeň, základná veta algebry, vety o zvyšku po delení f(x):(x-c), rozklad na súčin ireducibilných polynómov nad R a nad C, veta o racionálnych koreňoch polynómu s celočíselnými koeficientami.

3.Racionálne funkcie. Definícia, elementárne zlomky, rozklad na súčet elementárnych zlomkov.

4.Riešenie sústav lineárnych rovníc, definícia matice, rozšírenej matice sústavy a elementárnych riadkových operácií, definícia (redukovanej) stupňovitej matice. Vzťah medzi štruktúrou redukovanej stupňovitej matice a počtom riešení sústavy.

5.Maticová algebra. Definície operácii s maticami, regulárnej matice, inverznej matice, transponovanej matice.

6.Determinanty a ich vlastnosti. Definícia, rozvoje podľa riadku a stĺpca, vzťahy medzi ERO a hodnotou determinantu, adjungovaná matica, výpočet A⁻¹ pomocou determinantov, Cramerovo pravidlo.

7.Priestor usporiadaných n-tíc Cⁿ, Rⁿ.Algebraické operácie, lineárna (ne)závislosť, podpriestor, usporiadaná báza a dimenzia podpriestoru, lineárny obal, lineárny obal riadkov a stĺpcov A^{m×n}, hodnosť matice A, Frobeniova veta.

8.Analytická geometria v priestore. Pravouhlá pravotočivá súradnicová sústava, skalárny, vektorový a zmiešaný súčin vektorov, ich vlastnosti a geometrická interpretácia, {dôkaz} vety o výpočte ortogonálneho priemetu vektora u do smeru vektora v, rovnice roviny a priamky v priestore

9.Kvadratické plochy, definícia a klasifikácia, rovnice kvadratických plôch v základnom tvare (s osami rovnobežnými so súradnicovými osami).

10.Definícia funkcie f:A→B,A,B⊂R, súčet, súčin a podiel funkcií, skladanie funkcií, definície injektívnej, surjektívnej a bijektívnej funkcie, inverzná funkcia. Graf funkcie, (ne)párna, periodická, (ne)ohraničená funkcia.

11.Limita funkcie. Hromadný bod množiny, definícia limity, vety o limite súčtu, súčinu, podielu funkcií, zloženej funkcie pre vlastnú aj nevlastnú limitu, {dôkaz} vety o vlastnej limite súčtu f+g, veta o vzťahu nerovností f(x)≤g(x) a lim_{x→a}f(x)≤lim_{x→a}g(x) a jej dôsledkov, veta o limite zúženia funkcie, jednostranné limity, L'Hospitalove pravidlá.

12.Spojitosť funkcie. Definícia, vlastnosti funkcie spojitej na uzavretom intervale, spojitosť inverznej funkcie, zloženej funkcie.

13.Derivácia funkcie. Definícia, sformulovanie viet o derivácii f+g,cf,fg,(f/g),vety o derivácii zloženej funkcie a inverznej funkcie.

14.Priebeh funkcie. Vety o prírastku funkcie (Rollova, Lagrangeova a Cauchyho), Taylorova veta, definícia lokálneho maxima a minima, nutná podmienka existencie lokálneho extrému, definícia stacionárneho bodu, postačujúca podmienka (rýdzej) monotónnosti funkcie, definícia konvexnej, konkávnej funkcie a inflexného bodu, postačujúca podmienka lokálneho extrému, definícia asymptoty v ∞,-∞ a asymptoty bez smernice, definícia dotyčnice ku grafu funkcie.

15.Delenie intervalu, dolné a horné integrálne súčty, definícia určitého integrálu, Postačujúca podmienka existencie určťitého integrálu, primitívna funkcia, neurčitý integrál, hlavná veta integrálneho počtu.

16.Integračná metóda per partes pre určitý aj pre neurčitý integrál, substitučná integračná metóda pre určitý aj neurčitý integrál.

Podmienky na zápočet

1. Na štyroch povinných testoch konaných počas semestra je možné získať maximálne 40 bodov.

1. Zápočet získava študent s 20-40 bodmi získanými počas semestra.
2. Nutnou podmienkou účasti na skúške z M2 je získanie aspoň 15 bodov z priebežných testov.
3. Skúška je písomná. Pozostáva z teoretických otázok (dá sa získať maximálne 20 bodov) a príkladov (dá sa získať maximálne 40 bodov).
4. Hodnotenie skúšky pozostáva zo súčtu bodov získaných počas semestra a na skúške. Výsledná známka zodpovedá stupnici uverejnenej v študijnom programe.
5. Na skúške sa nepoužívajú kalkulačky.