Oddelenie matematiky
Matematika 2
Rozsah: 2/2, (verzia 15.4.2013)
- Lineárny a euklidovský priestor Rm.
- Funkcie z Rm do Rn a ich zložky.
- Limita a spojitosť funkcie viacerých premenných.
- Diferencovateľnosť funkcie, parciálne derivácie, gradient.
- Smerová derivácia, parciálne derivácie vyšších rádov.
- Lokálne extrémy funkcie viac premenných.
- Integrál funkcie viac premenných.
- Fubiniho veta, výpočet dvojných integrálov.
- Transformácie dvojného integrálu (polárne súradnice).
- Fubiniho veta, výpočet trojných integrálov.
- Transformácie trojného integrálu (cylindické súradnice).
- Transformácie trojného integrálu (sférické súradnice).
Poznámka
- V Matematike 2 nie je priestor na Fourierove rady.
- Z Matematiky 1 nie je možné (tak, ako tomu bolo doteraz) prevziať poznatky o lineárnych a euklidovských priestoroch a poznatky o riešení systémov lineárnych rovníc.
- Nie je priestor na doplnenie základných vedomostí z analytickej geometrie, čo neumožní aplikácie, ako sú linearizácie funkcie, odhady funkčných hodnôt, dotyková rovina, deriváciu v smere, viazané a absolútne extrémy.
- Definíciu integrálu bude nutné obmedziť na Fubiniho vetu. Stratí sa princíp využitia akejkoľvek miery pri definícii integrálu. Ak študent aspoň implicitne sa nedotke Jordanovej miery, ako potom pochopí tie "rôzne" integrály, ktoré sa na našej fakulte využívajú?
Za týchto okolností nie je možné v akreditačnom spise napísať vetu "Študenti získajú seriózne základy z matematickej analýzy."
Matematika 2
Rozsah: 2/2, Návrh Ľ. Marko
- Fourierove rady.
- Priestor R2, základné metrické a topologické vlastnosti, postupnosti v R2.
- Funkcie z R2 do R a do R2, limita funkcie.
- Spojitosť funkcie dvoch premenných, inverzná funkcia.
- Diferencovateľnosť funkcie, parciálne derivácie, smerová derivácia, parciálne derivácie vyšších rádov.
- Lokálne extrémy reálnej funkcie viac premenných.
- Viazané extrémy.
- Integrál funkcie dvoch premenných.
- Fubiniho veta, výpočet dvojných integrálov.
- Transformácie dvojného integrálu (polárne súradnice).
- Funkcie z R3 do R, do R2, do R3 (limita a spojitosť)
- Diferencovateľnosť funkcií troch premenných (parciálne derivácie, smerová derivácia, derivácie vyšších rádov).
- Fubiniho veta, výpočet trojných integrálov.
- Integrálne transformácie (cylindické a sférické súradnice).
Matematika 2
Rozsah: 2/2, Návrh L.Satko (malá modifikáciu návrhu Ľ.Marka)
- Lineárny a euklidovský priestor Rm.
- Funkcie z Rm do Rn a ich zložky.
- Limita a spojitosť funkcie viacerých premenných.
- Diferencovateľnosť funkcie, parciálne derivácie, smerová derivácia, parciálne derivácie vyšších rádov.
- Lokálne extrémy funkcie viac premenných.
- Integrál funkcie viac premenných.
- Fubiniho veta, výpočet dvojných a trojných integrálov.
- Transformácie dvojného integrálu (polárne súradnice).
- Transformácie trojného integrálu (cylindické a sférické súradnice).
Poznámka
- V Matematike 2 nie je priestor na Fourierove rady.
- Z Matematiky 1 nie je možné (tak, ako tomu bolo doteraz) prevziat poznatky o lineárnych a euklidovských priestoroch a poznatky o riešení systémov rovníc.
- Nie je priestor na vyšetrovanie definičných oborov funkcií, čo obmedzí integrovanie len na veľmi triviálne množiny.
- Nedá sa uvažovať o hľadaní viazaných extrémov.
- Je veľmi otazné, kde vziať priestor na také aplikácie, ako sú linearizácie funkcie, približné odhady funkčných hodnôt, dotyková rovina, reťazové pravidlá, (a ja napriek tomu, že je zaradená v osnovách) deriváciu vo smere.
- Definíciu integralu bude nutné obmedziť na Fubiniho vetu. Stratí sa princíp využitia akejkoľvek miery pri definícii integralu. Ak študent aspoň implicitne sa nedotke Jordanovej miery, ako potom pochopí tie "rôzne" integrály, ktoré sa na našej fakulte využívajú?
Matematika 2
Rozsah 4-2, Návrh B. Rudolf
1. Integrálny počet funkcie jednej reálnej premennej. Neurčitý integrál. Definícia a základné vlastnosti. Elementárne integrály, metóda per partes a substitučná metóda. Integrovanie racionálnych funkcií.
2. Určitý integrál. Plocha ohraničená krivkou. Definícia Riemannovho integrálu a vlastnosti. Stredná hodnota. Vzťah určitého integrálu a primitívnej funkcie. Newton-Leibnitz. Metóda per partes a substitúcia v určitom integráli.
3. Geometrické a fyzikálne aplikácie určitého integrálu. Úlohy vedúce na určitý integrál.
4. Nevlastný integrál, konvergencia. Súvis s nekonečným radom, integrálne kritérium.
5. Funkcia viacerých premenných. Množiny v . Pojem funkcie. Limita a spojitosť.
6. Parciálna derivácia, derivácia v smere, gradient. Diferencovateľnosť funkcie viac premenných, dotyková rovina, diferenciál.
7. Lokálne extrémy funkcie viacerých premenných. Druhé parciálne derivácie a druhý diferenciál. Aplikácie.
8. Viazané extrémy, absolutné extrémy na uzavretej a ohraničenej množine.
9. Obyčajné diferenciálne rovnice. Modelovanie dif. rovnicami. Geometrická a technická interpretácia. Základné pojmy.
10. Rovnice so separovateľnými premennými. Metóda riešenia. Existencia a jednoznačnosť na príklade vytekajúcej kvapaliny. Autonómna rovnica.
11. Lineárna rovnica 1. rádu. Homogénna a nehomogénna. Kvalitatívne vlastnosti riešenia.
12. Lineárna rovnica 2. rádu. Homogénna rovnica s konštantnými koeficientami. Nehomogénna rovnica. Kvalitatívne vlastnosti riešení. Oscilácie. Rezonancia. Zosilnenie.
13. Aplikácie. Lineárne obvody. Kyvadlo. Vedenie tepla.
Predmet Matematika 2
Rozsah 2-2
(Návrh sylabu)
1. Nekonečné číselné rady. Kritériá konvergencie radov s nezápornými členmi.
2. Mocninové rady.
3. Neurčitý integrál, definícia, elementárne integrály, základné vlastnosti integrálu.
4. Metóda integrovania per partes, substitučná metóda.
5. Integrovanie racionálnych funkcii, rozklad na elementárne zlomky.
6. Určitý integrál (Riemannov), vzťah medzi integrálom a primitívnou funkciou, vlastnosti určitého integrálu, stredná hodnota.
7. Metódy integrovania pre partes a substitúcia v určitom integráli, aplikácie určitého integrálu.
8. Funkcia viacerých premenných. Množiny v R^2 . Pojem funkcie. Zložená funkcia.
9. Limita a spojitosť funkcie viac premenných.
10. Parciálna derivácia, derivácia v smere, gradient. Dotyková rovina, diferenciál.
11. Lokálne extrémy funkcie viacerých premenných. Druhé parciálne derivácie a druhý diferenciál.
12. Viazané extrémy, absolutné extrémy na uzavretej a ohraničenej množine.
Matematika 2
Rozsah: 2/2, Návrh I. Brilla
1. Skalárna funkcia dvoch a troch premenných.
2. Spojitosť a limita funkcie.
3. Smerové a parciálne derivácie.
4. Gradient funkcie. Parciálne derivácie vyšších rádov.
5. Lokálne extrémy funkcie.
6. Extrémy spojitých funkcií na kompaktnej množine.
7. Integrál funkcie dvoch a troch premenných.
8. Fubiniho veta - výpočet dvojných integrálov.
9. Transformácie integrálov - polárne súradnice.
10. Fubiniho veta - výpočet trojných integrálov.
11. Transformácie integrálov - cylindrické a sférické súradnice.