Zadania prémií z predmetu Diskrétna matematika a logika
Prémia 1
Dokážte, že ak A,B,C sú množiny také, že
a zároveň
Math(A\cap B=B\cap C=A\cap C,) potom platí A=B=C.
Prémia 2
Nájdite systém (množinu množín) Math(\{A_i\}_{i\in I}) (I je množina indexov) s takýmito vlastnosťami:
Pre každú konečnú množinu Math(F\subseteq I) platí, že Math(\big\cap_{i\in F}A_i\not =\emptyset).
Prémia 3
Dokážte De Morganov zákon
pre množiny čisto pomocou rovností uvedených na prednáške.
Prémia 4
Zistite, či je relácia Math(\rho) na Math(\mathbb R^+) daná predpisom
Math(x\rho y:\Leftrightarrow x^y\leq y^x)
antisymetrická a tranzitívna.
Prémia 5
Nech A je nejaká množina, nech Eq(A) je množina všetkých ekvivalencií na A. Zrejme Math((Eq(A),\subseteq)) je poset. Nech Math(\rho,\theta\in Eq(A)).
Dokážte, že poset ekvivalencií
Math((\{\gamma\in Eq(A):\rho,\theta\subseteq\gamma\},\subseteq))
má najmenší prvok a popíšte, ako vyzerá.
Inými slovami: existuje vždy najmenšia ekvivalencia obsahujúca nejaké dve dané ekvivalencie? Charakterizujte ju.
Prémia 6
Dokážte, že pre každú podgrupu {$ H $} grupy {$ (Z,+) $} existuje {$ k\in\mathbb N $} také, že {$ H=k.\mathbb Z $}, kde
{$ k.\mathbb Z=\{k.x:x\in\mathbb Z\} $}