Riešenia prémií z predmetu Algebry a grafy
Prémia 1
(6 bodov) Dokážte, že ak A,B,C sú množiny také, že
a zároveň
Math(A\cap B=B\cap C=A\cap C,) potom platí A=B=C.
[attachment:smolinsky1.pdf Riešenie (Smolinský)]
Prémia 2
(6 bodov) Nájdite systém (množinu množín) Math(\{A_i\}_{i\in I}) (I je množina indexov) s takýmito vlastnosťami:
Pre každú konečnú množinu Math(F\subseteq I) platí, že Math(\big\cap_{i\in F}A_i\not =\emptyset).
Komentár: Bolo dosť rozšírené presvedčenie, že I je konečná množina. Pre konečné I však riešenie neexistuje! Ak položíme F=I, dostaneme totiž toto:
To je pochopiteľne v spore. Teda I musí byť nekonečná.
[attachment:andruska2.pdf Riešenie (Andruška)]
Prémia 3
(10 bodov) Dokážte De Morganov zákon
pre množiny čisto pomocou základných rovností uvedených na prednáške. Okrem základných rovností môžete použit idempotentnosť prieniku, resp. zjednotenia:
{$ A\cap A=A,~A\cup A=A $}
[:/Premia3: Riešenia s mojimi komentármi]
Prémia 4
(8 bodov) Zistite, či je relácia {$\rho\subseteq R+\times R+$}, kde {$R^+$} je reálny interval {$(0,\infty)$} daná predpisom
{$x\rho y:\Leftrightarrow \sqrt[x]{y}\leq\sqrt[y]{x}$}
reflexívna, symetrická, antisymetrická, tranzitívna.
[:/Premia4: Riešenia s mojimi komentármi]