Riešenie prémie 7

Toto je až príliš podrobné, nie všetko bolo treba.

[attachment:spacek7_1.jpg Strana 1]

[attachment:spacek7_2.jpg Strana 2]

Iný dôkaz (náčrt):

Ak {$H$} je podgrupa {$Z$}, potom buď {$H=\{0\}$} a teda {$H=0.Z$}, alebo {$H$} obsahuje nejaké kladné prvky.

Nech teda {$H$} obsahuje nejaké kladné prvky. Nech {$k$} je najmenší kladný prvok v {$H$}. Zrejme {$k.Z\subseteq H$}.

Poďme teraz dokázať, že {$k.Z\supseteq H$}.

Ak $a,b$ sú kladné prvky {$H$}, potom ich najmenší spoločný násobok {$gcd(a,b)$} je kladný a je tiež z H; to vyplýva z korektnosti Euklidovho algoritmu.

Nech teraz {$a\in H$}, {$a>0$}. Potom {$0<gcd(a,k)\leq k$}. Keďže {$k$} je najmenší kladný prvok v {$H$}, z toho vyplýva, že {$gcd(a,m)=k$}. Teda {$k$} je deliteľom {$a$}, {$a\in k.Z$}

Ak {$a\in H$}, {$a<0$}, môžeme urobiť rovnakú úvahu pre {$-a$} a vidíme, že {$k$} je deliteľom {$-a$} a teda aj {$a$} a {$a\in k.Z$}.

Ak {$a=0$}, zrejme {$a\in k.Z$}.

Teda každé {$a\in H$} patrí aj do {$k.Z$} a to znamená {$k.Z\supseteq H$}.