Parciálne diferenciálne rovnice pre MPM 2016/2017 -- letný semester
Vyučujúci
- Igor Bock
Konzultačné hodiny:
- Po osobnom (emailovom) dohovore
Prvé termíny skúšok 24.05.2017 o 8.00 v AB300 FEI STU, 29.05.2012 o 8.00 v AB35 FEI STU
Ďalšie termíny skúšok 6.6, 20.6 o 8.00 v AB35 FEI STU, 26.6 o 8.00 v AB300 FEI STU
1. Priestory L2(a,b) kvadraticky integrovateľných funkcií definovaných na intervale (a,b). Ortogonálne systémy a Fourierove (ortogonálne) rady v L2(a,b).
2. Sturmova-Liouvilleova úloha na vlastné hodnoty a vlastné funkcie pre obyčajné diferenciálne rovnice 2.rádu v samoadjungovanom tvare.
3. Priestory spojite diferencovateľných definovaných na ohraničenej oblasti Ω v m-rozmernom priestore a jej uzávere. Priestor L2(Ω) kvadraticky integrovateľných funkcií definovaných na ohraničenej oblasti Ω v m-rozmernom priestore, m>1. Skalárny súčin a norma funkcie a konvergencia (v strede) v priestore L2(Ω).
4. Ortogonálne systémy a Fourierove (ortogonálne) rady v L2(Ω). Hranica oblasti, jednotkový normálový vektor v jedno, dvoj a trojrozmernom prípade . Integrál po hranici ako neorientovaný krivkový a plošný integrál. Integrácia per partes ako zovšeobecnenie jednorozmerného prípadu.
5. Stacionárne parciálne diferenciálne rovnice 2. rádu. Odvodenie rovnice pre stacionárne rozloženie teploty v telese a pre stacionárny ohyb membrány. Eliptická rovnica , eliptický operátor , špeciálne Laplaceov operátor, Laplaceova, Poissonova rovnica.
6.Eliptické okrajové úlohy. Podmienky jednoznačnosti ich riešenia. Laplaceov operátor v polárnych súradniciach. Riešenie Laplaceovej rovnice s nehonmogénnymi okraj. podmienkami pre obdĺžnik a kruh. Radiálne symetrické riešenia Poissonovej rovnice pre kruh.
7. Úloha na vlastné hodnoty a vlastné funkcie eliptického operátora. Výpočet vlastných hodnôt a vlastných funkcií na obdĺžniku. Riešenie nehomogénnej eliptickej okrajovej úlohy pomocou vlastných hodnôt a vlastných funkcií.
8. Greenova funkcia a jej použitie na riešenie eliptických okrajových úloh.
9. Odvodenie rovnice pre nestacionárne rozloženie teploty v telese a difúziu. Parabolická rovnica.
10. Začiatočno-okrajová úloha pre parabolickú rovnicu, jednoznačnosť jej riešenia . Vyjadrenie riešenia pomocou vlastných hodnôt a vlastných funkcií. Začiatočná úloha pre vedenie tepla v nekonečnej tyči
11. Parciálne diferenciálne rovnice 1. rádu. Rovnice zákona zachovania. Rovnice s jednou a viac priestorovými premennými.
12. Systém rovníc prvého rádu hyperbolického typu.
13. Hyperbolická rovnica 2.rádu (rovnica kmitania struny a membrány). Začiatočno-okrajová úloha pre hyperbolickú rovnicu. Odvodenie jednoznačnosti jej riešenia. Vyjadrenie riešenia pomocou vlastných hodnôt a vlastných funkcií. Začiatočná úloha pre kmitanie nekonečnej struny
Literatúra
Arsenin, V. J.: Matematická fyzika, Alfa, Bratislava 1977.
Barták, J. – Herrman, L. – Lovicar, V. – Vejvoda, O.: Parciální diferenciální rovnice II., SNTL Praha, 1988.
Bock, I.: Matematická fyzika, SVŠT Bratislava 1987.
Bock, I.- Marko Ľ.: Diferenciálne rovnice, STU Bratislava 2001.
Míka, S.- Kufner, A.: Okrajové úlohy pro obyčajné diferenciální rovnice, SNTL Praha, 1981.
Míka, S.- Kufner, A.: Parciální diferenciální rovnice I., SNTL Praha, 1983.
Podmienky na zápočet a skúšku
- Na povinných testoch konaných počas semestra je možné získať maximálne 30 bodov.
- Zápočet získava študent s 13 bodmi získanými počas semestra.
- Skúška je písomná. Pozostáva z teoretických otázok (dá sa získať maximálne 20 bodov, získanie 5 bodov je nevyhnutnou podmienkou k získaniu skúšky) a príkladov (dá sa získať maximálne 50 bodov).
- Hodnotenie skúšky pozostáva zo súčtu bodov získaných počas semestra a na skúške. Výsledná známka zodpovedá stupnici uverejnenej v študijnom programe.
Príklady a cvičenia
odr_nove.pdf okraj_ulohy.pdf parab.pdf hyperb.pdf riesenia_elipticke.pdf