Attachment 'prednaskaM1-1-2018.TEX'

Download

\input amstex
{\catcode`@=11\gdef\logo@{}}
\magnification=\magstep1
\NoBlackBoxes
\input epsf

\documentstyle{amsppt}
\hsize 179truemm
\vsize 270truemm

\def\softl{l\kern-0.1em\lower-0.05ex\hbox{\char39}\kern-0.1em}
\def\softL{L\kern-0.25em\lower-0.3ex\hbox{\char39}}
\def\softt{t\kern-0.12em\lower-0.05ex\hbox{\char39}}

%\NoPageNumbers

\TagsOnRight

\shyph

\def\8{\eightpoint}
\def\go#1;#2;#3 {\vbox to0pt{\kern-#3\hbox{\kern#2 #1}\vss}\nointerlineskip}
\advance\hoffset by-12truemm \advance\voffset by-20truemm
\def\defin{\definition{Def\hskip1.2truept in\'\i cia}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\topmatter
\title
Matematika 1 --- predn\'a\v ska 1
\endtitle

\author Michal Zajac \endauthor

\endtopmatter

\document


\comment

$$\xxalignat4
c'&=0&(cf)'&=[cf]'&[f+g]'&=f'+g'\\
[fg]'&=f'g+fg'&\left[\tfrac fg\right]'&=\tfrac{f'g-fg'}{g^2}&[f(g(x)]'&=f'\bigl(g(x)\bigr)\cdot g'(x)&[x^n]'&=nx^{n-1}&\\
[e^x]'&=e^x&[\ln x]'&=\tfrac1x&[a^x]'&=a^x\ln a&[\log_ax]'&=\tfrac1{x\ln a}&\\
[\sin x]'&=\cos x&[\cos x]'&=-\sin x&[\operatorname{tg}x]'&=\frac1{\cos^2 x}&[\operatorname{cotg}x]'&=\tfrac{-1}{\sin^2 x}& \\
[\operatorname{arcsin}x]'&=\tfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}&[\operatorname{arccos}x]'&=\tfrac{-1}{\sqrt{1-x^2}}&[\operatorname{arctg}x]'&=\tfrac1{1+x^2}&[\operatorname{arccotg}x]'&=\tfrac{-1}{1+x^2}&
\endxxalignat
$$

\endcomment

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\subhead Zoznam znaèiek \endsubhead

\advance\parindent by 20truept
\item{$\Bbb N$:}  množina všetkých prirodzených èísel
\item{$\Bbb Z$:}  množina všetkých celých èísel
\item{$\Bbb R$:}  množina všetkých reálnych èísel
\item{$\Bbb C$:}  množina všetkých komplexných èísel 
\item{$a\in A$:}  $a$ patrí do množiny $A$ 
\item{$\operatorname{Re}z$:} reálna èas èísla $z\in \Bbb C$
\item{$\operatorname{Im}z$:} imaginárna èas èísla $z\in \Bbb C$
\item{$\operatorname{arg}z$:} argument èísla $z\in \Bbb C$
\item{$\forall$:} pre všetky (pre každé)
\item{$\exists$:} existuje
\item{$\exists!$:} existuje práve jedno
\item{$\not\nexists$:} neexistuje
\item{$\emptyset$:} prázdna množina

\advance\parindent by -20truept
\head
1. Komplexn\'e \v{c}\'{\i}sla
\endhead


Najprv pripomenieme niektor\'e zn\'ame vlastnosti re\'alnych \v{c}\'{\i}sel.
\proclaim{Veta}
Nech $a,b,c\in \Bbb R$ potom plat\'{\i}:
\itemitem{\rm(i)}   $a+b=b+a$   (komutat\'{\i}vnos\v{t} s\v{c}\'{\i}tania)
\itemitem{\rm(ii)}  $a+(b+c)=(a+b)+c$ (asociat\'{\i}vny z\'akon)
\itemitem{\rm(iii)} $a+0=a$
\itemitem{\rm(iv)}  $a+(-a)=0$
\itemitem{\rm(v)}   $ab=ba$     (komutat\'{\i}vnos\v{t} n\'asobenia)
\itemitem{\rm(vi)}  $a(bc)=(ab)c$  (asociat\'{\i}vny z\'akon)
\itemitem{\rm(vii)} $1\cdot a=a$
\itemitem{\rm(viii)}  Ak $a\ne 0$, tak $\exists \frac1a\in R$ a
plat\'{\i} $a\cdot\frac1a=1$
\itemitem{\rm(ix)}  $a(b+c)=ab+ac$ (distribut\'{\i}vny z\'akon)
\endproclaim

Vieme, \v{z}e neexistuje $x\in \Bbb R$, pre ktor\'e $x^2=-1$. Tento
,,nedostatok'' re\'alnych \v{c}\'{\i}sel odstr\'anili ma\-te\-ma\-ti\-ci tak, \v{z}e si
tak\'e \v{c}\'{\i}slo ,,vymysleli''. Vol\'a sa {\it imagin\'arna jednotka} a ozna\v{c}ova ho
budeme p\'{\i}smenom $i$ (v elektrotechnick\'ych aplik\'aci\'ach je
zau\v{z}\'{\i}van\'e aj ozna\v{c}enie $j$).

\defin Nech $x, y\in R$. \newline
V\'yraz tvaru $iy$ sa naz\'yva {\it imagin\'arne \v{c}\'{\i}slo},
v\'yraz tvaru $x+iy$ sa naz\'yva {\it komplexn\'e \v{c}\'{\i}slo}
({\it algebraick\'y tvar} komplexn\'eho \v{c}\'{\i}sla).
Mno\v{z}inu v\v{s}etk\'ych komplexn\'ych
\v{c}\'{\i}sel budeme ozna\v{c}ova\v{t} $\Bbb C$.
\enddefinition
V mno\v{z}ine v\v{s}etk\'ych komplexn\'ych \v{c}\'{\i}sel s\'u oper\'acie s\v{c}\'{\i}tania a
n\'asobenia ur\v{c}en\'e vzahom $i^2=-1$ a vlastnosami (i)--(ix).
Teda
ak $a,b,a_1,b_1,a_2,b_2\in\Bbb R$, tak
$$
\align
a+ib&=0 \iff a=b=0\\
(a_1+ib_1)+(a_2+ib_2)&=(a_1+a_2)+i(b_1+b_2)\\
(a_1+ib_1)(a_2+ib_2)&=(a_1a_2-b_1b_2)+i(a_1b_2+b_1a_2)\\
-(a+ib)&=(-a)+i(-b)\\
(a+ib)(a-ib)&=a^2+b^2\in R\\
\text{ak }a+ib\ne0\text{ tak }\frac1{a+ib}&=\frac1{a+ib}\,\frac{a-ib}{a-ib}=\frac
a{a^2+b^2}+i\frac{-b}{a^2+b^2}
\endalign
$$
Predch\'adzaj\'uce vzahy sa ¾ahko overia priamym výpoètom, napr.:
$$\multline
(a_1+ib_1)(a_2+ib_2)=a_1(a_2+ib_2)+ib_1(a_2+ib_2)=
a_1a_2+ia_1b_2+ib_1a_2+i^2b_1b_2=\\
(a_1a_2-b_1b_2)+i(a_1b_2+b_1a_2)
\endmultline
$$
Ukázali sme, že sèítaním, násobením a delením dvoch komplexn\'ych
\v{c}\'{\i}sel dostaneme znova komplexn\'e \v{c}\'{\i}slo (t.j. v\'yraz tvaru $x+iy$,
kde $x,y\in \Bbb R$ a tieto oper\'acie sme definovali tak, \v{z}e aj
komplexn\'e \v{c}\'{\i}sla sp\'l\v{n}aj\'u vlastnosti (i)--(ix) re\'alnych \v{c}\'{\i}sel.

\defin
Nech $x,y\in\Bbb R$, $z=x+iy\in \Bbb C$. Potom sa $x$ naz\'yva {\it re\'alna
\v{c}as a $y$ {\it imagin\'arna \v{c}as} komplexn\'eho \v{c}\'{\i}sla $z$, ozna\v{c}ujeme:
$$
x=\operatorname{Re}z\,,\qquad  y=\operatorname{Im}z\,,
$$
 \v{c}\'{\i}slo $\overline z=x-iy$ sa naz\'yva \v{c}\'{\i}slo {\it komplexne zdru\v{z}en\'e} s \v{c}\'{\i}slom $z$.
\enddefinition  
Priamym v\'ypo\v{c}tom sa d\'a overi\v{t}, \v{z}e plat\'{\i}
\proclaim{Veta}
Nech $z,z_1,z_2\in\Bbb C$. Potom 
\itemitem{\rm(i)}  $\overline{\overline{z}}=z$,\qquad\qquad\qquad\quad\;  {\rm(iii)}
$\overline{z_1z_2}=\overline{z}_1\overline{z}_2$,
\itemitem{\rm(ii)}
$\overline{z_1+z_2}=\overline{z_1}+\overline{z_2}$, \qquad {\rm(iv)} $\operatorname{Re}z=\frac12(z+\overline z)$,\quad
                                                                     $\operatorname{Im}z=\frac1{2i}(z-\overline z)$.
\endproclaim

\example{Pr\'{\i}klad}
Vypo\v{c}\'{\i}tajte (t.j. nap\'{\i}\v{s}te v algebraickom tvare) \v{c}\'{\i}sla
\halign{#) &$#$\hfil\qquad&#) &$#$\hfil\qquad&#)
&$#$\hfil\cr
a&i^{23}&b&\dfrac1i&c&\dfrac{2+3i}{i}\cr
d&\dfrac{1+i}{2-i}&e&\dfrac{(2-i)^2}{1+i}&f&(1-i)^6\cr}
\endexample
\example{Rie\v{s}enie}
\item{a)} V\v{s}imnime si, \v{z}e $i^2=-1$, $i^3=-i$,
$i^4=1$, potom dostaneme\item{}
$i^{23}=i^{5\cdot4+3}=(i^4)^5i^3=1^5(-i)=-i$,

\item{b)} $\dfrac1i=\dfrac1i\,\dfrac{-i}{-i}=\dfrac{-i}{1}=-i$,

\item{c)} $\dfrac{2+3i}{i}=\dfrac{1}{i}(2+3i)=-i(2+3i)=-2i-3i^2=3-2i$,

\item{d)} $\dfrac{1+i}{2-i}=\dfrac{1+i}{2-i}\dfrac{2+i}{2+i}=
\dfrac{(1+i)(2+i)}{4+1}=\dfrac{2+i+2i+i^2}{5}=\dfrac{1}{5}+i\dfrac{3}{5}$,

\item{e)} $\frac{(2-i)^2}{1+i}=\frac{4-4i+i^2}{1+i}=
\frac{(3-4i)(1-i)}{(1+i)(1-i)}=\frac{3-3i-4i+4i^2}{2}=
-\frac12-i\frac72$

\item{f)}
$(1-i)^6=((1-i)^2)^3=(1-2i+i^2)^3=(-2i)^3=(-2)^3i^3=-8(-i)=8i$.
\endexample


\subhead
Geometrick\'a interpret\'acia komplexn\'ych \v{c}\'{\i}sel
\endsubhead

Komplexn\'e \v{c}\'{\i}slo je ur\v{c}en\'e usporiadanou dvojicou re\'alnych \v{c}\'{\i}sel.
K èíslu $z\in\Bbb C$ m\^o\v{z}eme priradi dvojicu re\'alnych \v{c}\'{\i}sel
$(x=\operatorname{Re}z,y=\operatorname{Im}z)$ a teda aj bod v
rovine, ktoého súradnice sú $[x,y]$. Je t\'ym tie\v{z} ur\v{c}en\'y aj vektor v rovine, ktor\'eho po\v{c}iato\v{c}n\'y
bod je  $[0,0]$ a koncov\'y bod je $[x,y]$.

Komplexn\'e \v{c}\'{\i}slo
$z=x+iy$ stoto\v{z}n\'{\i}me s t\'ymto vektorom. Pritom aj obvykl\'e s\v{c}\'{\i}tanie
vektorov v rovine zodpoved\'a s\v{c}\'{\i}taniu komplexn\'ych \v{c}\'{\i}sel.
Pou\v{z}\'{\i}vame pravouhl\'e s\'uradnice v rovine, ale na
zd\^oraznenie, \v{z}e v nej kresl\'{\i}me komplexn\'e \v{c}\'{\i}sla budeme os $x$
naz\'yva\v{t} re\'alna os a os $y$ imagin\'arna os.

D\'l\v{z}ka tohoto vektora sa naz\'yva absol\'utna hodnota
komplexn\'eho \v{c}\'{\i}sla $z$. Ak je $z\ne 0$ je tento vektor
jednozna\v{c}ne ur\v{c}en\'y svojou d\'l\v{z}kou a orientovan\'ym
uhlom, ktor\'eho po\v{c}iato\v{c}n\'ym ramenom je vektor $(1,0)$
(teda kladn\'a \v{c}as\v{t} re\'alnej osi) a koncov\'ym ramenom je
vektor $z=(x,y)$ Pripome\v{n}me, \v{z}e orient\'acia uhla je
kladn\'a ak sa jeho po\v{c}iato\v{c}n\'e rameno dostane do
koncov\'eho rameno ot\'a\v{c}an\'{\i}m okolo vrchola proti smeru
hodinov\'ych ru\v{c}i\v{c}iek. Ve\v{l}kos\v{t} orientovan\'eho
uhla $\varphi>0$ budeme ur\v{c}ova\v{t} v obl\'ukovej miere,
radi\'anoch, teda je ur\v{c}en\'a d\'l\v{z}kou cesty, ktor\'u
prejde koncov\'y bod vektora d\'l\v{z}ky 1 pri ot\'a\v{c}an\'{\i}
o uhol $\varphi$ proti smeru hodinov\'ych ru\v{c}i\v{c}iek,
z\'aporn\'e uhly rovnako zodpovedaj\'u ot\'a\v{c}aniu v smere
hodinov\'ych ru\v{c}i\v{c}iek.
$$
\vbox{\offinterlineskip\hsize110mm
\centerline{\8 Tabu\v{l}ka hodn\^ot $\cos\alpha$ a $\sin\alpha$}
\smallskip
\halign{\vrule width0pt depth5pt height
11pt \vrule\hfil$\;#\;$\hfil&&\vrule\hfil$\quad#\quad$\cr
\noalign{\hrule}
\text{stupne} &\alpha&360    &180&90         &60&45&30&\omit\vrule\cr
\text{radi\'any}&\frac{2\pi}{360}\alpha      &2\pi
&\pi&\frac{\pi}2&\frac{\pi}3&\frac{\pi}4&\frac{\pi}6&\omit\vrule\cr
\noalign{\hrule}
\cos&\cos\alpha&1&-1&0&\frac12&\frac12\sqrt2&\frac12\sqrt3&\omit\vrule\cr
\noalign{\hrule}
\sin&\sin\alpha&0&0&1&\frac12\sqrt3&\frac12\sqrt2&\frac12&\omit\vrule\cr
\noalign{\hrule}
}}
$$
\vbox to 5cm{
\centerline{\epsfbox{goniom.eps}}
\centerline{\8 Obr.~1 Geometrick\'a interpret\'acia komplexn\'eho \v{c}\'{\i}sla.}
} %vlo\v{z}it obrazok


\defin
Nech $z=x+iy\in\Bbb C$, $x,y\in\Bbb R$.
\itemitem{(i)} 
Nez\'aporn\'e \v{c}\'{\i}slo $|z|=\sqrt{x^2+y^2}$ sa naz\'yva {\it absol\'utna  hodnota} komplexn\'eho \v{c}\'{\i}sla $z$,
\itemitem{(ii)} 
Ak je navy\v{s}e $z\ne 0$, tak orientovan\'y uhol $\varphi$, pre ktor\'y $z=|z|(\cos\varphi+i\sin\varphi)$, naz\'yvame
{\it argument} komplexn\'eho \v{c}\'{\i}sla $z$.
\itemitem{(iii)} 
$z=|z|(\cos\varphi+i\sin\varphi)$ sa naz\'yva {\it goniometrick\'y tvar} komplexn\'eho \v{c}\'{\i}sla $z$.
\enddefinition
Poznamenajme, \v{z}e ak $\varphi$ je argument \v{c}\'{\i}sla $z$, tak je $\varphi+2k\pi$ pre $\forall k\in Z$ tie\v{z} argumentom
\v{c}\'{\i}sla $z$. Vyjadrenie \v{c}\'{\i}sla $z$ v goniometrickom tvare je vlastne len preformulovan\'{\i}m defin\'{\i}cie funkcie
$\sin\varphi$ a $\cos\varphi$ pre orientovan\'e uhly. 

Goniometrick\'y tvar komplexn\'eho
\v{c}\'{\i}sla sa skr\'atene
zapisuje v exponenci\'alnom tvare:
$$
z=|z|(\cos\varphi+i\sin\varphi)=|z|e^{i\varphi}\,,\quad\text{kde
\v{c}\'{\i}slo }e\text{ je z\'aklad prirodzen\'eho logaritmu.}
$$
Opr\'avnenos tohoto z\'apisu je vidie z geometrickej interpret\'acie n\'asobenia komplexn\'ych
\v{c}\'{\i}sel:


\proclaim{Veta}
Ak $\alpha,\beta\in\Bbb R$, tak
$$
(\cos\alpha+i\sin\alpha)(\cos\beta+i\sin\beta)=
\cos(\alpha+\beta)+i\sin(\alpha+\beta)\,.
$$
\endproclaim
Toto tvrdenie sa d\'a dok\'aza\v{t} pomocou geometrick\'ych \'uvah a je ekvivalentn\'e so s\'u\v{c}tov\'ymi vzorcami zn\'amymi zo strednej \v{s}koly
(overte si to):
$$\xalignat2
\sin(\alpha+\beta)&=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta\,,&
\sin(\alpha-\beta)&=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta\,,
\\
\cos(\alpha+\beta)&=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta\,,&
\cos(\alpha-\beta)&=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta\,.
\endxalignat
$$
Teda pri n\'asoben\'{\i} komplexn\'ych \v{c}\'{\i}sel sa ich argumenty s\v{c}\'{\i}taj\'u.
Absol\'utne hodnoty sa n\'asobia, \v{c}o je jedn\'ym z tvrden\'{\i} nasleduj\'ucej
vety: 
\proclaim{Veta}
Pre $\forall z,w\in\Bbb C$ plat\'{\i}:
\itemitem{\rm(i)} $|z+w|\le |z|+|w|$ (trojuholn\'{\i}kov\'a nerovnos\v{t})
\itemitem{\rm(ii)} $|zw|=|z||w|$.
\endproclaim
Obe tvrdenia sa daj\'u ¾ahko overi v\'ypo\v{c}tom. Ak nie s\'u vektory
$z,w$ rovnobe\v{z}n\'e, tak je vektor $z+w$ uhloprie\v{c}ka vo vhodnom rovnobe\v{z}n\'{\i}ku (nakreslite
ho) nerovnos (i) je zn\'ame tvrdenie, \v{z}e strana trojuholn\'{\i}ka je
krat\v{s}ia ako s\'u\v{c}et d\'l\v{z}ok zvy\v{s}n\'ych dvoch str\'an.

Predchádzajúce 2 vety maj\'u nasleduj\'uci d\^osledok, ktor\'y je zn\'amy ako
\proclaim{Moivreova veta}
Ak $r,\phi\in\Bbb R$, $r>0$, $n\in N$, tak
$$
[r(\cos\varphi+i\sin\varphi)]^n=r^n[\cos(n\varphi)+i\sin(n\varphi)]\,\quad\text{alebo v exponenciálnom tvare }\left(re^{i\*\varphi}\right)^n=r^ne^{i\*n\varphi}.
$$
\endproclaim

Moivreova veta sa pou\v{z}\'{\i}va na rie\v{s}enie rovnice $z^n=c$, kde $c\ne0$ je zn\'ame komplexn\'e \v{c}\'{\i}slo,  $n\in\Bbb N$ a nezn\'ama $z$ sa h¾ad\'a v mno\v{z}ine $\Bbb C$. Pop\'{\i}\v{s}eme teraz ako sa binomick\'a rovnica rie\v{s}i:

\itemitem{1.} prav\'u stranu vyjadr\'{\i}me v goniometrickom tvare a rie\v{s}ime rovnicu
$$
z^n=|c|(\cos\varphi+i\sin\varphi)=|c|[\cos(\varphi+2k\pi)
+i\sin(\varphi+2k\pi)]\,,\quad k\in \Bbb Z\,.
$$

\itemitem{2.}
Nezn\'amu $z$ budeme h\v{l}ada\v{t} v goniometrickom tvare, teda h\v{l}ad\'ame
kladn\'e \v{c}\'{\i}slo $r$ a uhol $\alpha\in R$, tak aby
$z=r(\cos\alpha+i\sin\alpha)$ bolo rie\v{s}enie rovnice $z^n=c$, t.j.
$$
r^n[\cos(n\alpha)+i\sin(n\alpha)=|c|[\cos(\varphi+2k\pi)
+i\sin(\varphi+2k\pi)]\,,\quad k\in Z\,.
$$
\itemitem{3.}
Vidie\v{t}, \v{z}e predch\'adzaj\'uca rovnos\v{t} plat\'{\i} pre
$r=\root n\of{|c|}$ a $\alpha=\frac{\varphi+2k\pi}n=
\frac{\varphi}{n}+k\frac{2\pi}n$, $k\in\Bbb Z$ a teda
$$
z_k=\root n\of{|c|}\Bigl[
\cos\bigl(\frac{\varphi}{n}+k\frac{2\pi}n\bigr)+
\sin\bigl(\frac{\varphi}{n}+k\frac{2\pi}n\bigr)
\Bigr]\,,\quad k=0,1,2,\dots,n-1
$$
je $n$ r\^oznych rie\v{s}en\'{\i} danej binomickej rovnice.
\itemitem{4.} $\frac{\varphi}{n}+(k+n)\frac{2\pi}n
=\frac{\varphi}{n}+k\frac{2\pi}n+2\pi\implies z_{n+k}=z_k$, teda takto viac
rie\v{s}en\'{\i} nevyr\'atame.
Plat\'{\i} tvrdenie, \v{z}e rie\v{s}enie in\'eho tvaru rovnica nem\'a, ale
nebudeme ho teraz dokazova.
Poznamenajme e\v{s}te, \v{z}e rie\v{s}enia binomickej rovnice le\v{z}ia na
kru\v{z}nici so stredom v bode $0$ a polomerom $\root n\of{|c|}$
a tvoria vrcholy pravideln\'eho $n$-uholn\'{\i}ka.

Ešte ,,jednoduchšie'' je riešenie v exponenciálnom tvare:
$$
z^n=|c|e^{i\varphi}=|c|e^{i(\varphi+2k\pi)}\implies z_k=\root n\of {|c|}e^{\frac1ni(\varphi+2k\pi)}=
\root n\of {|c|}e^{i(\frac{\varphi}n+k\frac{2\pi}n)}\,,\quad k=0,1,\dots,n-1\,.
$$


\example{Pr\'{\i}klad}
Rie\v{s}te rovnicu $z^3=-8i$ a v\'ysledok nap\'{\i}\v{s}te v algebraickom tvare
a zn\'azornite.
\medskip
\hbox to \hsize{\vbox{\hsize40mm
\epsfxsize35mm\epsfbox{binomr8i.eps}}\hfil\vbox{\hsize 100mm\parindent 0pt
Najprv prav\'u stranu zn\'azorn\'{\i}me a z obr\'azku
ur\v{c}\'{\i}me absol\'utnu hodnotu $|-8i|=8$ a argument
$\varphi=\frac32\pi$ a teda rie\v{s}ime rovnicu
$$
z^3=8\bigl[\cos\bigl(\frac32\pi+2k\pi\bigr)+i\sin\bigl(\frac32\pi+2k\pi\bigr)\Bigr]=8e^{i(\frac32\pi+2k\pi)}
$$}}
Odmocnen\'{\i}m absol\'utnej hodnoty a delen\'{\i}m argumentu dostaneme
rie\v{s}enie:

\line{\vbox to 35mm{\hsize120mm\parindent 0pt
$$\align
z_k&=2\bigl[\cos\frac13\bigl(\frac32\pi+2k\pi\bigr)+
i\sin\frac13\bigl(\frac32\pi+2k\pi\bigr)\bigr]\,, k=0,1,2
\\
z_0&=2\bigl[\cos\frac12\pi+i\sin\frac12\pi\bigr]=2i
\\
z_1&=2\bigl[\cos\bigl(\frac12\pi+\frac{2\pi}3\bigr)+
i\sin\bigl(\frac12\pi+\frac{2\pi}3\bigr)\bigr]=
2\bigl[\cos\frac76\pi+i\sin\frac76\pi\bigr]=-\sqrt3-i
\\
z_2&=2\bigl[\cos\bigl(\frac12\pi+\frac{4\pi}3\bigr)+
i\sin\bigl(\frac12\pi+\frac{4\pi}3\bigr)\bigr]=
2\bigl[\cos\frac{11}6\pi+i\sin\frac{11}6\pi\bigr]=\sqrt3-i
\endalign
$$}\hfil\vbox to 25mm{\hsize30mm
\go{$z_0$};13mm;-2mm
\go{$z_1$};3.5mm;-16mm
\go{$z_2$};18mm;-16mm
\go{\8Re};21mm;-13mm
\go{\8Im};8mm;0mm
\go{\epsfxsize25mm\epsfbox{ries-8i.eps}};0mm;0mm }}
\endexample


\define\ries{rie\v ste}
\define\vypo{vypo\v c\'\i tajte}
\define\Ries{Rie\v ste}
\define\Vypo{Vypo\v c\'\i tajte}
\define\Vysl{\bf V\'ysledky}
\define\arctg{\operatorname{arctg}}

%\document

\subhead
 \'Ulohy
\endsubhead


\item {1.}  N\'{a}jdite v\'{y}sledok oper\'{a}cie v tvare $x+yi$, kde
$x,y\in\Bbb R$ (t.j. v algebraaickom tvare).

\hbox to0.9\hsize{\vtop{\hsize70mm
\itemitem{a.}
$3+7i-(5-2i)(4-i)$
\itemitem{b.} $i(1+i)(1-i)(1+2i)(1-2i)$
\itemitem{c.} $\frac{(1-7i)}{(2+3i)}$
}\hfil\vtop{\hsize70mm
\itemitem{d.} $\frac{a+bi}{a-bi}$, $a,b\in\Bbb R$
\itemitem{e.} $\frac{i(2+3i)}{3+5i}$}}


\item{2.} N\'{a}jdite v\v{s}etky $x,y\in \Bbb R$ tak\'e, \v{z}e

\hbox to0.9\hsize{\vtop{\hsize70mm
\itemitem{a.} $(2x+3y)+i(x-y)=-1+2i$
\itemitem{b.} $(ix+y)(2x-3iy)=2i$}
\hfil\vtop{\hsize70mm
\itemitem{c.} $\dfrac{-y+ix}{1-2i}+\dfrac{x+iy}{2+3i}=1$}}

\item{3.}
Dan\'e komplexn\'{e} \v{c}\'{\i}slo zn\'azornite a n\'{a}jdite
jeho goniometrick\'{y} a exponenciálny tvar.
\newline
\hbox to0.85\hsize{\hfil{a.} $\;-5$\hfil
{b.} $\;1-i$\hfil {c.} $\;\sqrt{3}-i$\hfil {d.} $\;-5i$\hfil {e.}
$\;2+3i$\hfil{f.} $\;-3-7i$}

\item{4.}  \Vypo\ $zu,\frac{z}{u},z^{n}$.

\itemitem{a.}
$z=\sqrt{3}(\cos\frac{7\pi}{5}+i\sin\frac{7\pi}{5})$,
$u=2(\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3})$, $n=5$
\itemitem{b.} $z=3(\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4})$,
$u=6(\cos\frac{3\pi}{8}+i\sin\frac{3\pi}{8})$, $n=2004$

\item{5.} V obore komplexn\'ych \v c\'\i sel \ries\ rovnicu. V\'ysledok
vyjadrite v algebraickom aj goniometrickom alebo exponenciálnom tvare a zn\'azornite.
\newline
\hbox to0.85\hsize{\vtop{\hsize70mm
\itemitem{a.} $z^4=4$
\itemitem{b.} $z^4=-4$}\hfil\vtop{\hsize70mm
\itemitem{c.} $z^3=-8i$
\itemitem{d.} $z^4=-1-i\sqrt3$}}

\item{6.} \Vypo.
\newline
\hbox to 0.8\hsize{{a.} $\;i^{101}$\hfil{b.} $\;(1+i)^4$\hfil
{c.} $\;\bigl(\frac{\sqrt2}2-i\frac{\sqrt2}2\bigr)^8$}



\head
2. S\'ustavy line\'arnych rovn\'\i c
\endhead

\subhead 1.1 Jedna rovnica s jednou neznámou \endsubhead

$$\xalignat2
ax&=b\,,& &\text{ kde }a,b\in\Bbb C\text{ sú dané èísla, máme nájs všetky }x\in\Bbb C\text{, ktoré sp\'l\v naj\'u danú rovnicu.}\\
\endxalignat
$$
Riešenie:
\itemitem{a.} Ak $a\ne 0$, tak $\exists!\,x=\frac{b}a$\quad (práve jedno riešenie),
\itemitem{b.} Ak $a=0\wedge b\ne0$, tak žiadne $x\in\Bbb C$ nesp\'l\v na $0\cdot x=b$\quad (žiadne riešenie),
\itemitem{c.} Ak $a=0\wedge b=0$, tak každé $x\in\Bbb C$ sp\'l\v na $0\cdot x=b$ \quad (nekloneène ve¾a riešení).

Rovnaké tri možnosti sú pre poèet riešení všetkých sústav s komplexnými (aj reálnymi) koeficientami.


V prípade $a,b\in\Bbb R$ vieme, že pre vzájomú polohu priamok $p\equiv y=ax\quad$ a $\quad q\equiv y=b$ sú presne 3 možnosti:
\itemitem{1.} môžu sa pretína v jednom bode $p\cap q=\bigl[\frac ba,b\bigr]$,
\itemitem{2.} môžu by rovnobežné rôzne ($p\parallel q$)\quad alebo\quad  3. totožné ($p=q$)


\subhead 1.1 Sústava $m$ lineárnych rovníc s $n$ neznámymi $m,n\in\Bbb N$, $m\ge1$, $n>1$ \endsubhead
\smallskip

Nech $a_{ij}\in\Bbb R\,(\Bbb C)$, $b_j\in\Bbb R\,(\Bbb C)$, $i\in\{1,\dots,m\}$, $j\in\{1,\dots,n\}$ sú dané èísla. Sústavou $m$ lineárnych rovníc s $n$ neznámymi
nazývame:
$$
\matrix\format\r\,&\l\\
a_{11}x_1+a_{12}x_2+\;\dots\;+a_{1n}x_n&=b_1\\
a_{21}x_1+a_{22}x_2+\;\dots\;+a_{2n}x_n&=b_2\\
\hdotsfor 2\\
a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+\dots+a_{mn}x_n&=b_m
\endmatrix
\tag S
$$
Rieši sústavu (S) znamená nájs množinu $P$ všetkých usporiadaných $n$-tíc  reálnych (komplexných) èísel, pre ktoré po dosadení do každej rovnice zo sústavy (S) za $(x_1,x_2,\dots, x_n)$ vznikne rovnos.

\definition{Definícia} $\Bbb R^n$ ($\Bbb C^n$) oznaèuje množinu všetkých usporiadaných $n$-tíc reálnych (komplexných) èísel.
\newline
Nech $\bold x=(x_1,x_2,\dots,x_n)\in\Bbb R^n$ ($\Bbb C^n$),  $\bold y=(y_1,y_2,\dots,y_n)\in\Bbb R^n$ ($\Bbb C^n$) a $\alpha\in\Bbb R$ ($\Bbb C$). Potom
\itemitem{(i)} $\bold x+\bold y=(x_1+y_1,x_2+y_2,\dots,x_n+y_n)$ sa nazýva súèet $n$-tíc $\bold x$ a $\bold y$.
\itemitem{(ii)} $\alpha \bold x=(\alpha x_1,\alpha x_2,\dots,\alpha x_n)$ sa nazýva násobok $n$-tice $\bold x$ èíslom $\alpha$.
\itemitem{(iii)} $n$-tica $\bold0=(0,0,\dots,0)\in\Bbb  R^n$ ($\Bbb C^n$) sa nazýva nulová $n$-tica.
\itemitem{(iv)} $-\bold x=(-x_1,-x_2,\dots,-x_n)$ sa nazýva $n$-tica opaèná k $n$-tici $x$.
\enddefinition


\definition{Definícia}
Tabu¾ku zostavenú z reálnych (komlexných) èísel $a_{ij}$, $i\in\{1,2,\dots m\}$, $j\in\{1,2,\dots n\}$
$$
A=\pmatrix a_{11}&a_{12}&\hdots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\hdots&a_{2n}\\\hdotsfor4\\a_{m1}&a_{m2}&\hdots&a_{mn}\endpmatrix=(a_{ij})\Sb 1\le\,i\,\le m\\1\le j\le\le n\endSb
$$
nazývame matica typu $m\times n$. Množinu všetkých matíc typu $m\times n$ budeme oznaèova $\Bbb R^{m\times n}$, respektíve $\Bbb C^{m\times n}$.
Usporiadané $n$-tice $A_{i*}=\pmatrix a_{i1}&a_{i2}&\hdots&a_{in}\endpmatrix$ sa nazývajú riadky a usporiadané $m$-tice $A_{*j}=\pmatrix a_{1j}\\a_{2j}\\\vdots\\a_{mj}\endpmatrix$ sa nazývajú ståpce matice $A$.
\enddefinition
Pri riešení sústavy (S) budeme používa jej zápis pomocou matíc:\newline
matica sústavy (S):\qquad\qquad
$A=\pmatrix a_{11}&a_{12}&\hdots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\hdots&a_{2n}\\\hdotsfor4\\a_{m1}&a_{m2}&\hdots&a_{mn}\endpmatrix$,\newline
rozšírená matica sústavy (S): $\tilde A=\left(\matrix a_{11}&a_{12}&\hdots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\hdots&a_{2n}\\\vspace{3pt}\hdotsfor4\\\vspace{2pt}a_{m1}&a_{m2}&\hdots&a_{mn}\endmatrix\right|\left.\matrix
b_1\\b_2\\\vdots \\b_m\endmatrix\right)$,

Potom sústavu (S), resp. jej rozšírenú maticu $\tilde A$ upravíme na maticu zodpovedajúcu sústave, ktorá má tú istú množinu $P$ všetkých riešení, ale  je pomocou nej jednoduchšie popísa množinu $P$.

Nasledujúce úpravy matice $A$ nemenia množinu všetkých riešení zodpovedajúcej sústavy, nazývame ich elementárne riadkové operácie (ERO).
\itemitem{ERO1} Vzájomná výmena riadkov ($A_{i*} \leftrightarrow A_{j*}$, $i\ne j$), alebo struène $R_i\leftrightarrow R_j$
\itemitem{ERO2} Násobenie niektorého riadku matice $A$ nenulovým èíslom  ($A_{i*}\to \alpha A_{i*}$, $\alpha\ne0$), struène $\alpha R_i$
\itemitem{ERO3} Prièítanie násobku niektorého riadka k inému riadku ($A_{i*}\to A_{i*}+\alpha A_{j*}$, $i\ne j$), struène $R_i+\alpha R_j$.

\definition{Definícia} Prvý (z¾ava) nenulový prvok $a_{ij}$ v riadku $A_{i*}$ matice $A$ sa nazýva vedúci prvok (pivot) riadku $A_{i*}$.
Matica $A$ sa nazýva stupòovitá, ak platí
\itemitem{1)} pivot  $i+1$-ého riadka je v ståpci napravo od ståpca, v ktorom je pivot $i$-teho riadka (v ståpci pod každým pivotom sú iba nuly).
\itemitem{2)} každý nulový riadok  je pod každým nenulovým riadkom matice $A$ (t.j. nulové riadky sú premiestnené do spodnej èasti matice).

$A$ sa nazýva redukovaná stupòovitá, ak je stupòovitá a navyše všetky jej pivoty sa rovnajú 1 a aj nad nimi sú v ståpci len nuly.
\enddefinition

 
¼ahko vidie, že pomocou ERO vznikne matica sústavy so zhodnou množinou všetkých riešení. Budem teda upravova rozšírenú maticu danej sústavy
na stupòovitú alebo redukovanú stupòovitú. Dá sa tiež dokáza, že každá matica $A$ typu $m\times n$ sa dá upravi pomocou ERO na jednoznaène urèenú redukovanú stupòovitú maticu $B$ typu $m\times n$, budeme písa $A\sim B$ (matice $A, B$ sú riadkovo ekvivalentné). Postup ukážeme na príklade sústavy a jej rozšírenej matice:
$$
\aligned
3x_1-2x_2+x_3&=11\\x_1+x_2-3x_3&=7\\11x_1-4x_2-3x_3&=10\endaligned \to A=\left(\matrix \format\c&\;\r&\;\r\\3&-2&1\\1&1&-3\\11&-4&-3\endmatrix
\right|\left.\matrix 11\\7\\10\endmatrix\right)\sim_{R_1\leftrightarrow R_2}\left(\matrix \format\c&\;\r&\;\r\\1&1&-3\\3&-2&1\\11&-4&-3\endmatrix
\right|\left.\matrix 7\\11\\10\endmatrix\right)
$$
Pivot 1. riadka je teraz èíslo $1$ (to sme mohli dosiahnú aj násobením $\frac13 \cdot R_1$, ale takto sa vyhneme zlomkom). Pomocou
ERO $R_2-3R_1$ a $R_3-11R_1$ dostaneme
$$
A\sim \left(\matrix \format\c&\;\r&\;\r\\1&1&-3\\0&-5&10\\0&-15&30\endmatrix
\right|\left.\matrix 7\\-10\\-67\endmatrix\right)\sim_{R_3-3R_2}
\left(\matrix \format\c&\;\r&\;\r\\1&1&-3\\0&-5&10\\0&0&0\endmatrix
\right|\left.\matrix 7\\-10\\-37\endmatrix\right)=B
$$
$B$ je stupòovitá matica, ktorej posledný riadok zodpovedá rovnici $0x_1+0x_2+0x_3=-37$ a je zrejmé, že nemá riešenie, teda $P=\emptyset$.

Pri úpravách sme postupovali ``z¾ava a zhora'' ``doprava a dole''. Na úpravu na redukovanú stupòovitú maticu budeme maticu $B$  upravova
od posledného pivota vpravo dole naspä v¾avo hore.
$$
B\sim_{-\frac1{37}R_3}\left(\matrix \format\c&\;\r&\;\r\\1&1&-3\\0&-5&10\\0&0&0\endmatrix
\right|\left.\matrix 7\\-10\\1\endmatrix\right)\sim_{-\frac15R_2}
\left(\matrix \format\c&\;\;\r&\;\r\\1&1&-3\\0&1&-2\\0&0&0\endmatrix
\right|\left.\matrix 7\\2\\1\endmatrix\right)
 \sim\Sb R_2-2R_3\\R_1-7R_3\endSb
\left(\matrix \format\c&\;\;\r&\;\r\\1&1&-3\\0&1&-2\\0&0&0\endmatrix
\right|\left.\matrix 0\\0\\1\endmatrix\right)\sim_{R_1-R_2}\left(\matrix \format\c&\;\;\r&\;\r\\1&0&-1\\0&1&-2\\0&0&0\endmatrix
\right|\left.\matrix 0\\0\\1\endmatrix\right)
$$
Posledná matica je už redukovaná stupòovitá.

Ak by sme poslednú rovnicu vynechali jej rozšírená matica sa pomocou ERO dá upravi na
$$
\left(\matrix \format\c&\;\;\r&\;\r\\1&1&-3\\0&1&-2\endmatrix
\right|\left.\matrix 7\\2\endmatrix\right)\sim_{R_1-R_3}\left(\matrix \format\c&\;\;\r&\;\r\\1&0&-1\\0&1&-2\endmatrix
\right|\left.\matrix 5\\2\endmatrix\right)
$$
Teraz je ¾ahké napísa riešenie (za neznámu zodpovedajúca ståpcu bez pivota zvolíme ¾ubovo¾né èíslo):
$$
x_3=a\in \Bbb R\,,\quad x_2-2a=2\implies x_2=2+2a\,,\quad x_1-a=5\implies x_1=5+a
\implies \underline{P=\{(5+a,2+2a,a)\; a\in\Bbb R\}}
$$

Popísaný postup sa v prípade, že úpravu matice ukonèíme dosiahnutím stupòovitej matice, nazýva Gaussova eliminaèná metóda (GEM). Ak pokraèujeme po získanie redukovanej stupònovitej matice, hovoríme o Gaussovej-Jordanovej eliminaènej metóde.

\example{Pr\'\i klad} Napíšte množinu $P$ všetkých riešení sústavy, ktorej rozšírená matica je
$$
\text{a)}\qquad \left(\matrix 2&1&0&-1&3\\0&1&3&1&3\\0&0&0&-1&1\endmatrix\right|\left.\matrix -1\\2\\1\endmatrix\right)\qquad
\text{b)}\qquad \left(\matrix 1&0&-3/2&0&-1\\0&1&3&0&4\\0&0&0&1&-1\endmatrix\right|\left.\matrix -5/2\\3\\-1\endmatrix\right)
$$
a)
$$
\left(\matrix 2&1&0&-1&3\\\vspace{2pt}0&1&3&1&3\\\vspace{2pt}0&0&0&-1&1\endmatrix\right|\left.\matrix -1\\2\\1\endmatrix\right)\quad\rightarrow\quad
\aligned 2x_1+x_2-x_4+3x_5&=-1\\x_2+3x_3+x_4+3x_5&=2\\-x_4+x_5&=1\endaligned
$$
Zaèneme od poslednej rovnice, v ktorj sú dve neznáme jednu zvolíme ¾ubovo¾ne, $\underline{x_5=a}\implies \underline{x_4=-1+a}$,\newline
dosadíme to do druhej rovnice: $x_2+3x_3+(-1+a)+3a=2$. Ak zvolíme $\underline{x_3=b}$, dostaneme\newline $x_2+3b-1+4a=2\implies \underline{x_2=3-4a-3b}$
\newline
nakoniec doteraz získané výsledky dosadíme do prvej rovnice: $2x_1+(3-4a-3b)-(-1+a)+3a=-1\iff 2x_1+4-2a-3b=-1\implies x_1=\frac12(-5+2a+3b)$
$\underline{x_1-\frac52+a+\frac32b}$, teda
$$
P=\left\{\left(\frac52+a+\frac32b,3-4a-3b,b,-1+a,a\right)\:a,b\in\Bbb R\right\}
$$
Poznamenajme, že za vo¾né parametre $a,b$ sme zvolili tie neznáme, ktoré zodpovedajú ståpcom bez pivotov. Matica z príkladu b) je redukovaá stupònovitá, na ktorú sme upravili prvú maticu. V tomto prípade môžeme množinu $P$ napísa priamo z matice, lebo po zvolení parametrov obsahujú všetky tri rovnice sústavy už len jednu neznámu.
\endexample
\definition{Definícia} Nech $A\in\Bbb  R^{m\times n}$ ($A\in\Bbb  C^{m\times n}$) a nech je $B$ stupòovitá matica riadkovo ekvivalentná s maticou $A$. Poèet nenulových riadkov (pivotov) matice $B$ sa nazýva hodnos matice $A$.
\enddefinition
\proclaim{Veta {\rm(Frob\'eniova)}} Sústava (S) lineárnych rovníc má (aspoò jedno) riešenie vtedy a len vtedy, keï sa hodnos matice sústavy (S) rovná hodnosti rozšírenej matice sústavy (S).
\endproclaim
Pripojme ešte dve poznámky sspresòujúce Frobéniovu vetu.
\item{1.} Ak sa pravé strany všetkých rovníc sústavy rovnajú nule, tak sa nazýva homogénna. Homogénna sústava má vždy riešenie; buï práve jedno ($x_1=x_2=\dots x_n=0$) alebo nekoneène ve¾a.
\item{2.} Ak je v stupòovitej matici $B\in\Bbb  R^{(n+1)\times m}$, ktorá je rozšírenou maticou sústavy s $n$ neznámymi $p$ pivotov,
tak na popísanie množiny $P$ všetkých jej riešení potrebujeme $n-p$ vo¾ných parametrov. Vo¾né parametre môžeme voli za neznáme zodpovdajúce ståpcom matice $B$, v ktorých  nie sú pivoty.


\head
3. Maticov\'a algebra a determinnty
\endhead

Najprv zavedieme pojem lineárnej závislosti a nezávislosti

\subhead
3.1. Line\'arna závislos a  nezávislos  v $\Bbb R^n$ a $\Bbb C^n$
\endsubhead

\defin Nech $\bold x_1,\bold x_2,\dots,\bold x_k\in\Bbb R^n$ a $\alpha_1,\alpha_2, \dots,\alpha_k\in\Bbb R$.
\item{1.} $\alpha_1\bold x_1+ \alpha_2\bold x_2+\dots+\alpha_k\bold x_k$ sa nazýva lineárna kombinácia vektorov $\bold x_1,\bold x_2,\dots,\bold x_k$.
\item{2.} Hovoríme, že $k$-tica $\{\bold x_1,\bold x_2,\dots,\bold x_k\}$ je linárne nezávislá, ak $\alpha_1\bold x_1+ \alpha_2\bold x_2+\dots+\alpha_k\bold x_k=\bold 0\implies \alpha_1=\alpha_2=\dots=\alpha_k=0$.
\item{3.} Ak nie je $k$-tica $\{\bold x_1,\bold x_2,\dots,\bold x_k\}$ lineárne nezávislá, tak sa nazýva lineárne závislá.
\enddefinition
Podobne hovoríme o lineárnej kombinácii, závislosti a nezávislosti $k$-tice matíc, polynómov alebo, všeobecnjšie, funkcií.

\subhead 3.2. súèet a súèin matíc \endsubhead

Operácie síce budeme dfinova pre matice s reálnymi prvkami, ale rovnaké definície a tvrdenia sú platné aj pre komplexné matice.
Najprv definujeme sèítanie matíc rovnakého typu (je vlastne zhodné so sèítaním v $\Bbb R^{mn}$, resp. $\Bbb C^{mn}$):
\definition{Súèet matíc}  Nech $m,n\in N$,
$A=(a_{ij})\Sb 1\le i\le m\\1\le j\le n\endSb\in\Bbb  R^{m\times n}$,
$B=(b_{ij})\Sb 1\le i\le m\\1\le j\le n\endSb\in\Bbb  R^{m\times n}$.
Potom $A+B\in\Bbb  R^{m\times n}$ definujeme rovnosou $A+B=(a_{ij}+b_{ij})\Sb 1\le i\le m\\1\le j\le n\endSb$
\enddefinition
\example{Pr\'\i klad}
$\pmatrix 1&2&3\\2&0&1\endpmatrix+\pmatrix 1&1&0\\2&3&1\endpmatrix=\pmatrix 2&3&3\\4&3&2\endpmatrix$, ale
$\pmatrix 1&2&3\\2&0&1\endpmatrix+\pmatrix 1&1\\2&3\endpmatrix$ nie je definované.
\endexample
Skôr, než definujeme súèin matíc zavedieme pojem  matice $A^{\top}$ transponovanej k matici $A$. $A^{\top}$ vznikne ,,preklopením'' matice $A$ okolo hlavnej diagonály, resp. zámenou úloh ståpcov a riadkov, napr.
$$
\pmatrix x_1&x_2&x_3\endpmatrix^{\top}=\pmatrix x_1\\ x_2\\x_3\endpmatrix,\;\; \pmatrix a_{11}&a_{12}&a_{13}\\
a_{21}&a_{22}&a_{23}\endpmatrix^{\top}=\pmatrix a_{11}&a_{21}\\a_{12}&a_{22}\\a_{13}&a_{23}\endpmatrix
$$
Všeobecne, ak $A=(a_{ij})\in\Bbb  R^{m\times n}$, tak $A^{\top}=B=(b_{ji})\in\Bbb  R^{n\times m}$, prièom $b_{ji}=a_{ij}$ pre všetky
$i\in\{1,2,\dots,m\}$, $j\in\{1,2,\dots,n\}$.


\definition{Súèin matíc} Najprv definujeme súèin matice $A$ typu $m\times n$ a ståpca $x$ ($n\times1$):
$$
\text{pre }A=(a_{ij})\Sb 1\le i\le m\\1\le j\le n\endSb\,, x=(x_1,x_2,\dots, x_n)^{\top}\text{ definujeme }
Ax=x_1A_{*1}+x_2A_{*2}+\dots+x_nA_{*n}\,.
$$

Pomocou vzahu $x\mapsto Ax$ je tak definované jednoznaèné priradenie (zobrazenie) ståpca $Ax\in\Bbb R^{m\times 1}$ k ståpcu $x\in\Bbb R^{n\times 1}\!\!$,
napr.\,pre$\,A=\pmatrix 1&2&3\\2&0&1\endpmatrix$, $x=\pmatrix -1\\1\\2\endpmatrix$ je
$Ax=-\pmatrix1\\2\endpmatrix+\pmatrix2\\0\endpmatrix+2\pmatrix3\\1\endpmatrix=
\pmatrix -1+2+6\\-2+0+2\endpmatrix=\pmatrix 5\\0\endpmatrix$
 
Ak namiesto jedného ståpca $x$ zobereme maticu $B$ typu $n\times k$ a definujeme $AB$ tak, že maticu $A$ násobíme sprava každým ståpcom matice $B$
a zo získaných ståpcov ,,poskladáme'' jednu maticu $AB=D=(d_{ij})\Sb 1\le i\le m\\1 \le j\le k\endSb$.

Teda násobíme maticu $A\in R^{m\times n}$ sprava maticou $B\in R^{n\times k}$ a výsledok je matica $D\in R^{m\times k}$ s prvkami
$d_{ij}=A_{i*}B_{*j}$ ($i$-ty riadok matice $A$ krát $j$-ty ståpec matice $B$). Ak sa poèet riadkov matice $A$ nerovná poètu ståpcov matice
$B$, tak nie je súèin $AB$ definovaný.
\enddefinition


\proclaim{Veta {\rm(vlastnosti súètu a súèinu matíc}}
\item{1)} Ak $A,B\in\Bbb R^{m\times n}$, $D\in\Bbb R^{n\times k}$, tak $(A+B)D=AD+BD$,
\item{2)} Ak $A,B\in\Bbb R^{m\times n}$, $D\in\Bbb R^{k\times m}$, tak $D(A+B)=DA+DB$,
\item{3)} Ak $A\in\Bbb R^{m\times n}$, $B\in\Bbb R^{n\times k}$, tak $(AB)^{\top}=B^{\top}A^{\top}$.
\item{4)} Násobenie matíc nie je komutatívne, t.j. nemusí plati $AB=BA$ (ani keï sú obe strany definované).
\endproclaim

\defin
Matice, ktoré majú rovnaký poèet riadkov ako ståpcov sa nazývajú {\it štvorcové}. Hovoríme, že prvky $a_{ii}$, $i=1,2,\dots n$ matice $A=(a_{ij})\in \Bbb R^{n\times n}$ tvoria {\it hlavnú diagonálu} matice $A$. Matica $I_n\in\Bbb  R^{n\times n}$, ktorá má všetky èísla na hlavnej diagonále rovné $1$ a ostatné prvky nulové, sa nazýva {\it jednotková matica}.
\enddefinition
 
Poznamenajme, že $A\in\Bbb  R^{m\times n}$, tak $I_mA=AI_n=A$, to vysvet¾uje názov jednotková matica.

Podobne pre štvorcovú maticu $A\in\Bbb  R^{n\times n}$ definujeme inverznú maticu ako $B\in\Bbb  R^{n\times n}$, pre ktorú $AB=I_n$. K danej matici $A$ existuje najviac jedna inverzná, navyše ak $AB=I_n$, tak aj $BA=I_n$.

\subhead
3.3. Výpoèet inverznej matice
\endsubhead



Postup vysvetlíme na maticiach typu $3\times 3$, nech $A=\pmatrix a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\endpmatrix$,
h¾adáme maticu $B=\pmatrix x_1&y_1&z_1\\ x_2&y_2&z_2 \\x_3&y_3&z_3\endpmatrix$, pre ktorú platí
$$
\pmatrix a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\endpmatrix
\pmatrix x_1&y_1&z_1\\ x_2&y_2&z_2 \\x_3&y_3&z_3\endpmatrix=
\pmatrix 1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\endpmatrix.
$$
Ak oznaèíme $x,y,z$ prvý, druhý a tretí ståpec neznámej matice $B$, máme vlastne rieši tri sústavy rovníc
$$
Ax=(1,0,0)^{\top},\quad Ay=(0,1,0)^{\top},\quad Az=(0,0,1)^{\top},
$$
ktoré majú tú istú maticu, ale rôzne pravé strany, t.j. rôzne rozšírené matice. Takže maticu $A$ rozšírime o všetky tri pravé strany a upravíme na riadkovo ekvivalentnú redukovanú stupòovitú maticu, jej hodnos sa rovná hodnosti pravej strany, t.j. $n$, teda buï majú všetky tri sústavy práve jedno riešenie, alebo aspoò jedna z nich nemá riešenie a inverzná matica neexistuje.  Maticu inverznú k matici $A$ oznaèujeme $A^{-1}$

\example{Pr\'\i klad.} Nájdite $A^{-1}$ pre $A=\pmatrix 1&-1&2\\1&-2&0\\0&1&1\endpmatrix$.
{\eightpoint$$\gather
\left(\matrix1&-1&2\\1&-2&0\\0&1&1\endmatrix\right|\left.\matrix 1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\endmatrix\right)\sim_{R_2-R_1}
\left(\matrix1&-1&2\\0&-1&-2\\0&1&1\endmatrix\right|\left.\matrix 1&0&0\\-1&1&0\\0&0&1\endmatrix\right)\sim_{R_3+R_2}
\left(\matrix1&-1&2\\0&-1&-2\\0&0&-1\endmatrix\right|\left.\matrix 1&0&0\\-1&1&0\\-1&1&1\endmatrix\right)\sim\Sb-R_2\\-R_3\endSb\\
\left(\matrix1&-1&2\\0&1&2\\0&0&1\endmatrix\right|\left.\matrix 1&0&0\\1&-1&0\\1&-1&-1\endmatrix\right)\sim\Sb R_2-2R_3\\R_1-2R_3\endSb
\left(\matrix1&-1&0\\0&1&0\\0&0&1\endmatrix\right|\left.\matrix -1&2&2\\-1&1&2\\1&-1&-1\endmatrix\right)\sim_{R_1+R_2}
\left(\matrix1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\endmatrix\right|\left.\matrix -2&3&4\\-1&1&2\\1&-1&-1\endmatrix\right)
\endgather
$$}
Teda upravili sme $\bigl(A\,|\,I_3\bigr)\sim \bigl(I_3\,|\,A^{-1}\bigr)$. Dostali sme $A^{-1}=\pmatrix -2&3&4\\-1&1&2\\1&-1&-1\endpmatrix$ (overte $AA^{-1}=A^{-1}A=I_3$).
\endexample

Ukážte, že k matici $A=\pmatrix 1&2\\3&6\endpmatrix$ neexistuje inverzná matica.



\proclaim {Veta} Nech $A\in R^{n\times n}$. Potom sú nasledujúce tvrdenia ekvivalentné.
\itemitem{a)} existuje matica $A^{-1}$,
\itemitem{b)} $A$ má hodnos $n$,
\itemitem{c)} riadky matice $A$ sú lineárne nezávislé,
\itemitem{d)} ståpce matice $A$ sú lineárne nezávislé.
\endproclaim

\defin
Štvorcová matica, ktorá má inverznú sa nazýva {\it regulárna}.
\enddefinition


\subhead
3.4. Determinanty štvorcových  matíc
\endsubhead
\smallskip

Determinant štvorcovej matice $A$ je èíslo $\det A$, urèené nasledujúcou (induktívnou) definícíou.
\defin
Nech $A\in C^{n\times n}$, $n\in N$.
\item{1.} Ak $n=1$, $A=(a_{11})$, tak $\det A=a_{11}$
\item{2.} Ak $n>1$ oznaèíme $A_{ij}$ maticu, ktorá vznikne z matice $A$ odstránením ståpca $A_{*j}$ a riadka $A_{i*}$.
\newline
$\det A=a_{11}\det A_{11}-a_{12}\det A_{12}+\dots+(-1)^{1+n}a_{1n}\det A_{1n}$ (rozvoj pod¾a prvého riadku).
\enddefinition
Pod¾a bodu 2) sa poèíta determinant, ak vieme poèíta determinanty matíc typu $(n-1)\times (n-1)$, teda


Ak $n=2$, $A=\pmatrix a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\endpmatrix$, tak $\det A=a_{11}\det(a_{22})-a_{12}\det(a_{21})=
a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}$. Determinant oznaèujeme aj ako maticu ohranièenú kolmými èiarami namiesto zátvoriek,
$\det A=\vmatrix a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\endvmatrix$. Pre $n=2$ teda je determinant súèin èísel na hlavnej diagonále mínus súèin èísel na ved¾ajšej diagonále.


Ak $n=3$. $\vmatrix  a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\endvmatrix=a_{11}\vmatrix a_{22}&a_{23}\\a_{32}&a_{33}\endvmatrix-a_{12}\vmatrix a_{21}&a_{23}\\a_{31}&a_{33}\endvmatrix+a_{13}\vmatrix a_{21}&a_{22}\\a_{31}&a_{32}\endvmatrix=$\newline
$a_{11}(a_{22}a_{33}-a_{23}a_{32})-a_{12}(a_{21}a_{33}-a_{23}a_{31})+a_{13}(a_{21}a_{32}-a_{22}a_{31})=$\newline $(a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32})$
$-(a_{11}a_{23}a_{32}+a_{12}a_{21}a_{33}+a_{13}a_{22}a_{31})$.

Pre determinant matice $3\times 3$ sa dá sformulova Sarusovo pravidlo. Prvé dva ståpce pripíšeme za maticu ako štvrtý a piaty ståpec a determinant je
súèet všetkých troch súèinov na hlavných diagonálach (z¾ava hore doprava dole) minus súèest súèinov na 3 ved¾ajších diagonálach.
$$\gather
\left|\matrix\format\c\;&\;\c\;&\;\c\\ a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\endmatrix\right|\matrix
\format\c\;&\;\c\\ a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\\a_{31}&a_{32}\endmatrix\\
 \det A=a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-(a_{13}a_{22}a_{31}+a_{11}a_{23}a_{32}+a_{12}a_{21}a_{33}).
\endgather
$$

Pre väèšie matice žiadne analogické pravidlo neexistuje a najvhodnejší je spôsob výpoètu pomocou ERO.


Najprv dfinujeme ïalšie špecialne typy matíc.
\definition{Defin\'\i cia} Matica $A=(a_{ij})\in\Bbb C^{n\times n}$ sa nazýva
\itemitem{(i)} dolná trojuholníková, ak $j>i\implies a_{ij}=0$ (všetky prvky nad hlavnou diagonálov sú nulové),
\itemitem{(ii)} horná trojuholníková, ak $j<i\implies a_{ij}=0$ (všetky prvky pod hlavnou diagonálov sú nulové),
\itemitem{(iii)} trojuholníková, ak je dolná alebo horná trojuholníková,
\itemitem{(iV)} diagonálna, ak $j\ne i\implies a_{ij}=0$ (všetky prvky mimo hlavnej diagonály sú nulové).
\enddefinition
Vlastnosti determinantu zhrnieme v nasledujúcej vete, ktorej dôkaz sa dá urobi matematickou indukciou.



\proclaim{Veta} Nech $A\in\Bbb C^{n\times n}$. Potom platí
\item{\rm1.}
$$\align
\forall\,i\in\{a,\dots,n\}\;\;\det A&=\sum_{j=1}^na_{ij}(-1)^{i+j}\det A_{ij}\quad(\text{rozvoj pod¾a $i$-teho riadku})\,,\\
\forall\,j\in\{a,\dots,n\}\;\;\det A&=\sum_{i=1}^na_{ij}(-1)^{i+j}\det A_{ij}\quad(\text{rozvoj pod¾a $j$-teho ståpca})\,.
\endalign
$$
\item{\rm2.} Ak $B\sim A$ vznikla z matice $A$ pomocou {\rm ERO}
\itemitem{\rm2.1.} násobenia niektorého riadka èíslom $\alpha$, tak $\det B=\alpha\det A$,
\itemitem{\rm2.2.} vzájomnou výmenou dvoch riadkov, tak $\det B=-\det A$,
\itemitem{\rm2.3.} prièítaním násobku niektorého riadka k inému riadku, tak $\det B=\det A$,
\item{\rm3.} $\det A^{\top}=\det A$
\endproclaim

\proclaim{D\^osledok}
\itemitem{\rm(i)} Determinant trojuholníkovej matice sa rovná súèinu jej prvkov na hlavnej diagonále.
\itemitem{\rm(ii)} Ak má matica $A$ dva rovnaké riadky alebo ståpce, tak $\det A=0$.
\itemitem{\rm(iii)} $A,B\in C^{n\times n}\implies \det(AB)=(\det A)(\det B)$.
\endproclaim
Prvé dôsledky sa pomocou predchádzajúcej vety dajú dokáza jednoducho, dôkaz tvrdenia o determinante súèinu je podstatne
nároènejší.

\subhead
3.5 Výooèet inverznej matice pomocou determinantov a Cramerovo pravidlo
\endsubhead

Pre maticu $A=(a_{ij})\in\Bbb C^{n\times n}$ oznaèíme $\tilde a_{ij}=(-1)^{i+j}\det A_{ij}$. $\tilde a_{ij}$ sa nazýva algebraický doplnok
prvku $a_{ij}$ v matici $A$, výstižnejie by bolo poveda algebraický doplnok pozície $(ij)$, lebo od hodnoty samotného prvku $a_{ij}$ ani od èísel v celom riadku $A_{i*}$ a ståpci $A_{*j}$ èíslo $\tilde a_{ij}$ nezávisí.

Poèítajme teraz súèin matíc
$$\gather
\pmatrix a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\endpmatrix
\pmatrix \tilde a_{11}&\tilde a_{12}&\tilde a_{13}\\\tilde a_{21}&\tilde a_{22}&\tilde a_{23}\\\tilde a_{31}&\tilde a_{32}&a_{33}\endpmatrix^{\top}=\pmatrix a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\endpmatrix
\pmatrix \tilde a_{11}&\tilde a_{21}&\tilde a_{31}\\\tilde a_{12}&\tilde a_{22}&\tilde a_{32}\\\tilde a_{13}&\tilde a_{23}&a_{33}\endpmatrix=\\\vspace{2pt}
=\pmatrix
(a_{11}\tilde a_{11}+a_{12}\tilde a_{12}+a_{13}\tilde a_{13})&
(a_{11}\tilde a_{21}+a_{12}\tilde a_{22}+a_{13}\tilde a_{23})&
(a_{11}\tilde a_{31}+a_{12}\tilde a_{32}+a_{13}\tilde a_{33})
\\
(a_{21}\tilde a_{11}+a_{22}\tilde a_{12}+a_{23}\tilde a_{13})&
(a_{21}\tilde a_{21}+a_{22}\tilde a_{22}+a_{23}\tilde a_{23})&
(a_{21}\tilde a_{31}+a_{22}\tilde a_{32}+a_{23}\tilde a_{33})
\\
(a_{31}\tilde a_{11}+a_{32}\tilde a_{12}+a_{33}\tilde a_{13})&
(a_{31}\tilde a_{21}+a_{32}\tilde a_{22}+a_{33}\tilde a_{23})&
(a_{31}\tilde a_{31}+a_{32}\tilde a_{32}+a_{33}\tilde a_{33})
\endpmatrix=\\\vspace{2pt}
=\pmatrix \det A&0&0\\0&\det A&0\\0&0&\det A\endpmatrix=(b_{ij})_{1\le i,j\le n}=(\det A)I_3\,.
\endgather
$$
Èísla na hlavnej diagonále $b_{11}=b_{22}=b_{33}=\det A$ sú rozvoje $\det A$ pod¾a prvého, druhého a tretieho riadka.
Na ostatných miestach sú rozvoje determinaantov matíc, ktoré majú dva rovnaké riadky, napr
$$
\text{rozvoj pod¾a druhého riadka }\quad  0=\vmatrix
a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\endvmatrix=(a_{11}\tilde a_{21}+a_{12}\tilde a_{22}+a_{13}\tilde a_{23})=b_{12}
$$
(algebraické doplnky druhého riadka posledného determinantu sú rovnaké ako v matici $A$).
\newline
Ak je $\det A\ne 0$, tak z predchádzajúcich výpotèov vyplýva
$$
A^{-1}=\frac1{\det A}(\tilde a_{ij})^{\top}=\frac1{\det A}
\eightpoint{\pmatrix\format\r&\;\;\r\;\;&\r\\
 \vmatrix a_{22}&a_{23}\\a_{32}&a_{33}\endvmatrix&
-\vmatrix a_{12}&a_{13}\\a_{32}&a_{33}\endvmatrix&
\vmatrix a_{12}&a_{13}\\a_{22}&a_{23}\endvmatrix\\\vspace{4pt}
-\vmatrix a_{21}&a_{23}\\a_{31}&a_{33}\endvmatrix&
\vmatrix a_{11}&a_{13}\\a_{31}&a_{33}\endvmatrix&
-\vmatrix a_{11}&a_{13}\\a_{21}&a_{23}\endvmatrix\\\vspace{4pt}
\vmatrix a_{21}&a_{22}\\a_{31}&a_{32}\endvmatrix&
-\vmatrix a_{11}&a_{12}\\a_{31}&a_{32}\endvmatrix&
\vmatrix a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\endvmatrix\endpmatrix}
.
$$
Pre matice typu $3\times3$ sme tým dokázali nasledujúcu vetu, pre matice $n\times n$ sa dá dokáza analogicky.
\proclaim{Veta} Nech $A=(a_{ij})\in\Bbb C^{n\times n}$ a nech $\operatorname{adj}A=(\tilde a_{ij})^{\top}$ (matica adjungovaná k matici $A$). Potom platí
$$
A(\operatorname{adj}A)=(\det A) I_n\,.
$$
Ak, navyše,   $\det A\ne 0$, tak
$$
A^{-1}=\frac1{\det A}\operatorname{adj}A\,.
$$
\endproclaim
Tým je súèasne dokázané aj tvrdenie
 \proclaim{Veta} $A\in\Bbb C^{n\times n}$ je regulárna vtedy a len vtedy, keï $\det A\ne0$.
 \endproclaim
Priamym dôsledkom vzahu $A^{-1}=\frac1{\det A}\operatorname{adj}A$ je
\proclaim{Cramerovo pravidlo}
Ak $A\in\Bbb C^{n\times n}$ je regulárna matica a $\bold b\in\Bbb  C^{n\times 1}$, tak má sústava lineárnych rovníc
$$
A\bold x=\bold b
$$
práve jedno riešenie $\bold x=\left(\frac{d_1}d,\frac{d_2}d,\dots,\frac{d_n}d\right)$, kde
$d=\det A$ a $d_j$ ($j=1,2,\dots n$)\newline je determinant matice, ktorá vznikne z matice $A$ zámenou ståpca $A_{*j}$ za $\bold b$ (pravú stranu).
\endproclaim

\enddocument


\newpage


Rozhodnite (a svoju odpoveï odôvodnite), èi je pravdivé tvrdenie

\item{T1.} [1+4] Ak $A=\pmatrix 1&0\\0&0\endpmatrix$ a $B\in R^{2\times 2}$, tak $AB=BA$?

\item{T2.} [2+2] Nech $f\:R\to R$ má deriváciu $f'\:R\to R$ a $f(1)=0$, $f'(1)=2$ a nech $F(x)=e^{f(x)}$. Potom
platí $F'(1)=2$.

\item{T3.} [1+4] Ak je funkcia $f\:R\to R$ v bode $a\in R$  spojitá, tak má aj deriváciu v bode $a$

\item{T4.} [2+3] Nech sú $f\:R\to R$ aj $f'\:R\to R$ spojité funkcie a $f'(2)=0$. Ak $x\ne 2\implies f'(x)\ne0$; $f'(0)=-1$, $f'(3)=3$ a $f(2)=4$, tak je obor hodnôt $H(f)\subset\langle 4,\infty)$.
\item{T4a.} [2+3] Nech sú $f\:R\to R$ aj $f'\:R\to R$ spojité funkcie a $f'(2)=0$. Ak $x\ne 2\implies f'(x)\ne0$; $f'(0)=-1$, $f'(3)=3$ a $f(2)=4$, tak je funkcia $f$ na intervale $\langle 2,\infty)$ rastúca.
\item{T5.} [3+2] Ak $q\in(-1,1)$, tak $\sum\limits_{n=1}^{\infty} q^n=\dfrac1{1-q}$.
\item{T6.} [1+3] Ak $\lim\limits_{n\to\infty}a_n=0$, tak je rad $\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n$ konvergentný.
\item{T7.} [1+3] $\operatorname{arctg}(-1)=\frac34\pi$.
\item{T7a.} [1+3] $\operatorname{arctg}(-1)=-\frac14\pi$.
\item{T8.} [1+4] Ak je pre $x_0\ne a$ èíselný rad $\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n(x_0-a)^n$ absolútne konvergentný a $|x-a|<|x_0-a|$ tak aj rad $\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n(x-a)^n$ konverguje absolútne.

\enddocument


\head
\'Uvod
\endhead

Tieto skript\'a s\'u ur\v{c}en\'e pre \v{s}tudentov 1. ro\v{c}n\'{\i}ka bakal\'arskeho
\v{s}t\'udia. Na\v{s}im cie\v{l}om bolo vytvori\v{t} ucelen\'y text, ktor\'y
m\'a \v{s}tudentovi pom\^oc\v{t} pochopi\v{t} a spr\'avne pou\v{z}\'{\i}va\v{t} poznatky z\'{\i}skan\'e na
predn\'a\v{s}kach.  Predpoklad\'ame, \v{z}e \v{c}itate\v{l} pozn\'a aspo\v{n} z\'akladn\'e
mno\v{z}inov\'e oper\'acie (prienik, zjednotenie, rozdiel),
z\'aklady matematickej logiky (n\'ajde ich aj v skript\'ach Logick\'e
syst\'emy [\ ]). Samozrejmos\v{t}ou by malo by\v{t} ovl\'adanie stredo\v{s}kolskej
matematiky aspo\v{n} v rozsahu po\v{z}adovanom pre B \'urove\v{n} externej
maturitnej sk\'u\v{s}ky.

Budeme dodr\v{z}iava\v{t} zau\v{z}\'{\i}van\'u logick\'u v\'ystavbu matematiky, ktor\'u
tvoria:
\item{1.} {\bf Z\'akladn\'e pojmy} (napr. mno\v{z}ina, prvok mno\v{z}iny). Tieto
sa nedefinuj\'u, ust\'alili sa dlhoro\v{c}nou sk\'usenos\v{t}ou.
\item{2.} {\bf Defin\'{\i}cie} s\'u prostriedkom na zavedenie nov\'ych pojmov
pomocou doteraz zn\'amych. Napr\'{\i}klad:\newline
{\bf Defin\'{\i}cia.} Hovor\'{\i}me, \v{z}e prirodzen\'e \v{c}\'{\i}slo
$m$ je {\it delite\v{l}om} prirodzen\'eho \v{c}\'{\i}sla $n$, ak existuje prirodzen\'e \v{c}\'{\i}slo
$k$, pre ktor\'e $n=km$.\newline
Nov\'ym pojmom je tu {\it delite\v{l}}, ostatn\'e pojmy v tejto defin\'{\i}cii
by mali by\v{t} jej \v{c}itate\v{l}ovi u\v{z} zn\'ame. Ak teraz vyberieme dve
prirodzen\'e \v{c}\'{\i}sla, napr. $m=3$, $n=5$, vieme pomocou defin\'{\i}cie
rozhodn\'u\v{t}, \v{z}e $3$ nie je delite\v{l}om \v{c}\'{\i}sla $5$.
\item{3.} {\bf Ust\'alen\'e ozna\v{c}enia}. Defin\'{\i}ciu m\^o\v{z}eme doplni\v{t} skratkou,
ktorou definovan\'u vlastnos\v{t} budeme v \v{d}al\v{s}om texte
ozna\v{c}ova\v{t}:\newline
Fakt, \v{z}e $m$ je delite\v{l}om \v{c}\'{\i}sla $n$ budeme skr\'atene ozna\v{c}ova\v{t}
$m|n$.
\item{3.} {\bf Veta.}  Poznatky matematiky sa formuluj\'u do
pravdiv\'ych v\'yrokov, ktor\'e sa naz\'yvaj\'u vety (matematick\'a ,,veta''
v\"a\v{c}\v{s}inou pozost\'ava z viacer\'ych gramatick\'ych viet). Vety sa v\v{z}dy
skladaj\'u z predpokladov a z tvrdenia, ktor\'e pri splnen\'{\i}
predpokladov plat\'{\i}. Ako pr\'{\i}klad
uvedieme zn\'ame tvrdenie:\newline
{\bf Veta.} $\undersetbrace\text{predpoklady}\to
{\text{Nech $m$ je prirodzen\'e \v{c}\'{\i}slo. Ak
$6|m$, tak aj}}$
$\undersetbrace\text{tvrdenie}\to {3|m}$.
\item{4.} {\bf D\^okaz.} Je overenie pravdivosti vety pomocou
zn\'amych tvrden\'{\i} a pravidiel matematickej logiky. Predch\'adzaj\'ucu
vetu m\^o\v{z}eme jednoducho dok\'aza\v{t}:\newline
Pod\v{l}a defin\'{\i}cie $6|m$ znamen\'a, \v{z}e existuje prirodzen\'e \v{c}\'{\i}slo
$k$, pre ktor\'e $m=6k$. Potom $m=6k=2\cdot3k=3(2k)$. Uk\'azali sme
teda, \v{z}e existuje prirodzen\'e \v{c}\'{\i}slo $k_1=2k$, pre ktor\'e
$m=3k_1$, t.j. $3|m$.


D\^okazy budeme \v{c}asto vynech\'ava\v{t} alebo uv\'adza\v{t} len ich n\'aznaky.
Nov\'e pojmy a tvrdenia ilustrujeme na rie\v{s}en\'ych pr\'{\i}kladoch
a ku ka\v{z}dej kapitole uv\'adzame aj nerie\v{s}en\'e \'ulohy.


{\8 tu by mal nasledova\v{t} zoznam najpou\v{z}\'{\i}vanej\v{s}\'{\i}ch ozna\v{c}en\'{\i}}

Attached Files

To refer to attachments on a page, use attachment:filename, as shown below in the list of files. Do NOT use the URL of the [get] link, since this is subject to change and can break easily.

You are not allowed to attach a file to this page.