Matematika 1 / Banská Bystrica

2008/2009 -- Zimný semester

Prednášajúci

doc. RNDr. Ľubomír Marko, PhD.

Stručná osnova predmetu (Harmonogram prednášok)

1. Úvod do štúdia. Prirodzené, racionálne, reálne a komplexné čísla. Vlastnosti podmnožín číselnej osi. Funkcia, zložená funkcia, inverzná funkcia. Polynómy, rozklad racionálnych funkcií na elementárne zlomky.
2. Eliminačné metódy riešenia systémov lineárnych rovníc, matice, operácie s maticami.
3. Regulárne a singulárne matice, inverzná matica.
4. Determinant matice a jeho základné vlastnosti. Cramerovo pravidlo.
5. Vektory v 3-rozmernom priestore, skalárny, vektorový a zmiešaný súčin. Priamky a roviny v priestore. Kvadratické plochy v základnej polohe.
6. Spojitosť a limita funkcie. Nevlastná limita. Nerovnice pre limity.
7. Postupnosti reálnych čísel. Nekonečné číselné rady. Kritériá konvergencie.
8. Mocninové rady. Definícia elementárnych funkcií sin, cos, exp a niektoré ich základné vlastnosti. 1. Diferencovateľnosť funkcie. Rýchlosť pohybujúceho sa bodu po priamke. Spojitá funkcia na intervale.
9. Veta o nulovom bode a jej využitie pri hľadaní reálneho koreňa funkcie. Lokálne extrémy funkcie.
10. Rolleova, Lagrangeova a Cauchyho veta. Zisťovanie monotónnosti funkcie pomocou derivácie. Konvexnosť a konkávnosť funkcie. Inflexný bod.
11. Taylorova veta. Taylorov rad. Derivácia inverznej funkcie. Zhrnutie o elementárnych funkciách.
12. Priebeh funkcie.

Literatúra

Podmienky na zápočet

1. Cvičenie je povinné, ospravedlnenie zo závažných dôvodov je možné dopredu, alebo najneskôr do piatich dní doložené patričným dokladom.
2. Celkový hodnotenie M1 je 100 bodov. Počas semestra môže študent získať 40 bodov, na skúške 60 bodov.
3. Počas semestra sa kladie dôraz na systematickú prácu, ktorá je hodnotená tromi testami. Na každom teste je možné získať maximálne 20 bodov. Ku skúške sa započítavajú výsledky z dvoch najúspešnejších testov. (Teda maximálne 40 bodov.) Preto sa opravné testy nebudú písať (ani v prípade choroby).
4. Okrem testov je možné počas semestra získavať (v obmedzenej miere) aj tzv. prémiové body. Podmienky ich získania budú priebežne oznámené na prednáškach, cvičeniach a seminároch. Udeľovanie prémiových bodov je plne v kompetencii prednášajúceho a cvičiaceho učiteľa.
5. Zápočet získava študent, ktorý počas semestra získal aspoň 20 bodov.
6. V kompetencii cvičiaceho učiteľa je aj vyžadovanie riešenia domácich úloh.
7. Skúška je písomná. Pozostáva z teoretických otázok za 20 bodov a príkladov za 40 bodov.
8. Na skúške sa nepoužívajú kalkulačky ani mobilné telefóny.
9. Podvádzanie pri skúške má za následok hodnotenie nevyhovel.

Otázky ku skúške z M1

• Základné pojmy: funkcia, zložená funkcia, injekcia, surjekcia, bijekcia, inverzná funkcia, okolie bodu, hromadný bod.

  Elementárne funkcie: mocninová funkcia s prirodzeným exponentom, mocninová funkcia s reálnym exponentom, logaritmus, exponenciálna funkcia, trigonometrické funkcie, cyklometrické funkcie.

  Otázky

• Lineárna závislosť a nezávislosť vektorov
• Definícia hodnosti matice.
• Definícia súčinu matíc.
• Frobéniova veta.
• Regulárna a inverzná matica.
• Determinat - rozvoj podľa riadka a stĺpca.
• Definícia limity funkcie v bode.
• Vety o limitách.
• Veta o limite zúženia funkcie.
• Veta o limite zloženej funkcie.
• Vety o nevlastnej limite (súčet, súčin).
• Veta o nulovej a nevlastnej limite prevrátenej hodnoty funkcie.
• Veta o nerovnostiach medzi limitami.
• Definícia spojitosti funkcie v bode, na množine a spojitosti.
• Vety o spojitosti.
• Veta o spojitosti zloženej funkcie.
• Vety o vlastnostiach spojitej funkcie na uzavretom intervale.
• Definícia postupnosti reálnych čísel.
• Definícia konvergentnej postupnosti.
• Veta o ekvivalencii medzi limitou funkcie a limitou postupnosti.
• Definícia monotónnej a ohraničenej postupnosti.
• Definícia nekonečného radu, jeho konvergencie a súčtu.
• Nutná podmienka konvergencie nekonečného radu. Uviesť príklad, že nie je postačujúcou podmienkou (harmonický rad).
• Definícia majorantného radu, porovnávacie (a limitné porovnávacie) kritérium konvergencie nekonečného radu.
• D' Alembertovo (podielové) kritérium konvergencie nekonečného radu.
• Cauchyho (odmocninové) kritérium konvergencie nekonečného radu.
• Definícia diferencovateľnosti funkcie v bode, diferencovateľnosti na množine, diferencovateľnosti.
• Definícia derivácie a diferencovateľnosti funkcie.
• Veta o vzťahu diferencovateľnosti a spojitosti funkcie.
• Veta o diferencovateľnosti zloženej funkcie.
• Veta o derivácii inverznej funkcie.
• Definícia lokálneho extrému a nutná podmienka existencie lokálneho extrému diferencovateľnej funkcie v bode.
• Veta Rolleho, Lagrangeova a Cauchyho.
• Definícia monotónnosti funkcie. Nutná a postačujúca podmienka monotónnosti funkcie na intervale.
• Definícia konvexnosti a konkávnosti funkcie.
• Nutná a postačujúca podmienka konvexnosti (konkávnosti) na intervale sformulovaná pomocou druhej derivácie.
• L 'Hospitalovo pravidlo.

Harmonogram cvičení a testov

1. Komplexné čísla. Eliminačné metódy riešenia systémov lineárnych rovníc.

Riešenie skúšky

Riešenie skúšky zo 7.1.2009

Riešenie

Príklady

PriklM1.pdf

Oznamy

Termín skúšky z M1: 3. februára 2009 o 8.00 hod.