Matematika 1

Rozsah: 2/2

Stručná osnova predmetu (verzia 15.4.2013)

1. Úvod.

2. Reálna funkcia jednej reálnej premennej.

3. Prehľad elementárnych funkcií.

4. Limita a spojitosť funkcie.

6. Diferencovateľnosť funkcie.

7. Vlastnosti diferencovateľných funkcií, L’Hospitalovo pravidlo.

8. Monotónnosť, konvexnosť, konkávnosť, priebeh funkcie.

9. Neurčitý integrál. Integračné pravidlá.

10. Integračné metódy (per partes, substitučná), integrovanie racionálnych funkcií.

11. Určitý integrál - definícia. Hlavná veta integrálného počtu.

12. Newtonov-Leibnitzov vzorec. Plošný obsah rovinných útvarov.

Poznámky

1. Rozsah matematických predmetov v prvom semestri neumožňuje definovať základné pojmy lineárnej algebry (sústava lineárnych rovníc, vektor, matica, determinant, základy analytickej geometrie, polynómy, parciálne zlomky atď.), čo bude veľký handicap nielen pre vyučovanie matematiky ale aj iných predmetov.

2. Veľmi vážny problém je, že bude nutné vypustiť postupnosti, nekonečné rady, mocninové rady a Taylorov rad.

3. Absolútne nezostáva žiaden priestor na aplikácie.

4. Nie je čas ani priestor na "vyrovnávanie" stredoškolských vedomostí. V posledných piatich rokoch musíme pokračovať veľmi voľným tempom, aby vysoké percento študentov stihlo vyrovnať resty zo strednej školy. Napriek tomu, značné percento študentov rezignuje už po prvej tretine semestra. Čo sa stane teraz?

5. Za týchto okolností nie je možné v akreditačnom spise napísať vetu "Študenti získajú seriózne základy z matematickej analýzy."

Matematika 1

Rozsah: 2/2

Stručná osnova predmetu (Návrh Ľ. Marko)

1. Úvod. Základné pojmy z logiky. Číselné množiny, infimum, supremum, minimum, maximum, reálna os a jej podmnožiny, okolie bodu.

2. Funkcia (D(f), H(f)), vlastnosti funkcií (ohr., monot., period.),graf funkcie, operácie s funkciami (súčet, súčin, podiel, zložená funkcia), inverzná funkcia.

3. Elementárne funkcie (konštantná, mocninová s prirodzeným, celočíselným a racionálnym exponentom, polynóm, racionálna funkcia,exponenciálna funkcia, logaritmická funkcia, goniometrické funkcie).

4. Limita (hrom. bod, definícia, geometrický význam limity, vety o limitách, nevlastná limita ).

5. Spojitosť funkcie, niektoré vlastnosti spojitých funkcií (veta o minime a maxime spojitej funkcie na uzavretom intervale).

6. Derivácia funkcie, diferencovateľnosť a spojitosť, pravidlá derivovania, diferenciál.

7. Extrémy, vlastnosti diferencovateľných funkcií, L’Hospitalovo pravidlo.

8. Monotónnosť, konvexnosť, priebeh funkcie.

9. Integrál (neurčitý, určitý), vlastnosti, hl. veta integrálneho počtu.

10. Integračné pravidlá, integračné metódy (per partes, substitučná), integrovanie rac. funkcií.

11. Integrovanie p.č. spojitých funkcií, nevlastné integrály, aplikácie integrálneho počtu (plošný obsah, dĺžka krivky, objem).

12. Postupnosti reálnych čísel, číselné rady a kritériá konvergencie číselných radov.

Literatúra

1. Satko, L., Kaprálik, P.: Matematika 1, Prvá časť. Elektronický text dostupný na tejto strane.
2. Sabolová, M., Satko, L.: Matematická Analýza I, Edičné stredisko STU, 2007 (Elektronický text dostupný na tejto strane).

3. Marko, Ľ.: Matematická analýza on-line, elektronické skriptá, Bratislava, 2003, http://aladin.elf.stuba.sk/~marko

Matematika 1

Rozsah: 2/2

Stručná osnova predmetu (Návrh L.Satko - modifikácia návrhu Ľ.Marka)

1. Úvod.

2. Reálna funkcia jednej reálnej premennej.

3. Opakovanie elementárnych funkcií na stredoškolskej úrovni.

4. Limita a spojitosť funkcie.

6. Diferencovateľnosť funkcie.

7. Vlastnosti diferencovateľných funkcií, L’Hospitalovo pravidlo.

8. Monotónnosť, konvexnosť, konkávnosť, priebeh funkcie.

9. Neurčitý integrál. Integračné pravidlá, integračné metódy (per partes, substitučná), integrovanie racionálnych funkcií.

10. Určitý integrál - definícia. Hlavná veta integrálného počtu. Newtonov-Leibnitzov vzorec. Plošný obsah plochy.

Poznámky

1. V uvedenom rozsahu nie je možné seriózne sa venovať základným vlastnostiam funkcií: Párnosť, nepárnosť, periodičnosť, skladanie funkcií.

2. Je veľmi otazné, ako získať priestor na inverzné funkcie. Treba uvažovať o tom, že sa nebudú preberať cyklometrické funkcie.

3. Limitu bude nutné vysvetlovať len na princípe "blíženia sa".

4. Veľmi vážny problém je, že bude nutné vypustiť postupnosti a nekonečné rady.

6. Nebude možnosť spomenúť mocninové rady a Taylorov rad.

5. Predchádzajúci bod spôsobí, že študenti nebudú mať nikdy seriózne definovanú exponenciálnu a ani logaritmickú funkciu.

6. Bez algebry bude veľmi ťažké integrovanie racionálnych funkcií. Chýbajú rozklady polynómov, rozklady rýdzo-racionálnych funkcií na elementárne zlomky, systémy rovníc.

8. Absolútne nezostáva žiaden priestor na aplikácie.

9. Nie je tu priestor na "vyrovnávanie" stredoškolských vedomostí. V posledných piatich rokoch musíme pokračovať veľmi voľným tempom, aby vysoké percento študentov stihlo vyrovnať resty zo strednej školy. Napriek tomu, značné percento študentov rezignuje už po prvej tretine semestra. Čo sa stane teraz?

7. Za týchto okolností sa v akreditačnom spise sa nemôže objaviť veta "Študenti získajú seriózne základy z matematickej analýzy."

Matematika 1

Rozsah: 2/2

Stručná osnova predmetu (Návrh B. Rudolf)

1. Pojem funkcie reálnej premennej. Df, Hf, vlastnosti funkcie, ohraničenosť, maximum, minimum, supremum, infimum, bijektívna funkcia, inverzná funkcia.

2. Limita a spojitosť funkcie. Konečné limity. Nevlastná limita. Limita v nevlastnom bode. Jednostranné limity.

3. Spojitosť. Vlastnosti spojitých funkcií.

4. Elementárne funkcie: Polynomické, racionálne, goniometrické, cyklometrické, exponenciálna a logaritmická funkcia.

5. Pojem derivácie. Výpočet derivácie funkcie reálnej premennej.

6. Geometrický význam derivácie, prvý diferenciál.

7. Monotónnosť a lokálne extrémy. Absolútne extrémy na ohraničenom intervale.

8. Derivácie vyšších rádov. Konvexnosť a konkávnosť. Extrémy a 2.derivácia.

9. L‘Hospitalovo pravidlo. Aplikácie v extremálnych úlohách.

10. Lokálna aproximácia funkcie Taylorovým polynómom. Odhad chyby.

11. Postupnosť ako funkcia na množine prirodzených čísel. Limita postupnosti. Vlastnosti. Postupnosť definovaná rekurentne.

12. Nekonečné rady. Pojem konvergencie. Geometrický rad.

Tento sylabus neobsahuje :

Vlastnosti reálnej osi, číselné množiny.

Žiadna zmienka o komplexných číslach.

Integrálny počet funkcie jednej reálnej premennej.

Vlastnosti diferencovateľných funkcií (Lagrangeova veta).

Vyšetrovanie priebehu funkcie.

Kritériá konvergencie radov.

Mocninové rady, Taylorov rad.

Integrálny počet.

Predmet Matematika 1

Rozsah 4-2 variant 1 na ktorý naväzuje sylabus M2.

(Návrh sylabu B. Rudolf)

0. Štruktúra reálnej osi.
1. Pojem funkcie reálnej premennej. Df, Hf, vlastnosti funkcie, parita, ohraničenosť, maximum, minimum, supremum, infimum, bijektívna funkcia, inverzná funkcia
2. Limita a spojitosť funkcie. Konečné limity. Nevlastná limita. Limita v nevlastnom bode. Jednostranné limity. Spojitosť. Vlastnosti spojitých funkcií na uzavretom intervale. Aplikácia: Metóda bisekcie
3. Elementárne funkcie: Polynomické, racionálne, goniometrické, cyklometrické, exponenciálna a logaritmická funkcia
4. Pojem derivácie. Výpočet derivácie funkcie reálnej premennej. Geometrický význam derivácie, prvý diferenciál. Aplikácia v približných výpočtoch
5. Monotónnosť a lokálne extrémy. Absolútne extrémy na ohraničenom intervale. Vlastnosti diferencovateľnej funkcie na uzavretom intervale
6. Derivácie vyšších rádov. Konvexnosť a konkávnosť. Extrémy a 2.derivácia. L‘Hospitalovo pravidlo
7. Aplikácie v extremálnych úlohách
8. Lokálna aproximácia funkcie Taylorovým polynómom. Odhad chyby.
9. Priebeh funkcie
10. Postupnosť ako funkcia na množine prirodzených čísel. Limita postupnosti. Vlastnosti. Postupnosť definovaná rekurentne
11. Nekonečné rady. Pojem konvergencie. Geometrický rad. Kritériá konvergencie radov s nezápornými členmi. Rady so striedavými znamienkami
12. Mocninové rady. Súčet ako reálna funkcia, interval konvergencie. Derivácia mocninového radu. Taylorov rad reálnej funkcie

Matematika 1

Rozsah 4/2

(Návrh sylabu B. Rudolf) Verzia s integrálnym počtom.

1. Pojem funkcie reálnej premennej. Df, Hf, vlastnosti funkcie, parita, ohraničenosť, maximum, minimum, supremum, infimum, bijektívna funkcia, inverzná funkcia.
2. Limita a spojitosť funkcie. Konečné limity. Nevlastná limita. Limita v nevlastnom bode. Jednostranné limity. Spojitosť. Vlastnosti spojitých funkcií na uzavretom intervale.
3. Pojem derivácie. Výpočet derivácie funkcie reálnej premennej. Geometrický význam derivácie, prvý diferenciál.
4. Monotónnosť a lokálne extrémy. Absolútne extrémy na ohraničenom intervale. Vlastnosti diferencovateľnej funkcie na uzavretom intervale.
5. Derivácie vyšších rádov. Konvexnosť a konkávnosť. Extrémy a 2.derivácia. L‘Hospitalovo pravidlo.
6. Lokálna aproximácia funkcie Taylorovým polynómom. Priebeh funkcie.
7. Postupnosť ako funkcia na množine prirodzených čísel. Limita postupnosti. Vlastnosti. Postupnosť definovaná rekurentne.
8. Nekonečné rady. Pojem konvergencie. Geometrický rad. Kritériá konvergencie radov s nezápornými členmi. Rady so striedavými znamienkami.
9. Mocninové rady. Súčet ako reálna funkcia, interval konvergencie. Derivácia mocninového radu. Taylorov rad reálnej funkcie.
10. Neurčitý integrál, definícia, elementárne integrály, metóda per partes a substitúcia.
11. Integrovanie racionálnych funkcii, rozklad na elementárne zlomky.
12. Určitý integrál (Riemannov), vzťah medzi integrálom a primitívnou funkciou, metódy integrovania, aplikácie určitého integrálu.

Matematika 1

Rozsah: 2/2

Stručná osnova predmetu (Návrh I.Brilla)

1. Prirodzené, racionálne a reálne čísla. Funkcia, zložená funkcia, inverzná funkcia.

2. Spojitosť a limita funkcie.

3. Diferencovateľnosť funkcie. Spojitá funkcia na intervale.

4. Extrémy spojitých funkcií na uzavretom intervale. Lokálne extrémy funkcie.

5. L’Hospitalovo pravidlo.

6. Zisťovanie monotónnosti funkcie pomocou derivácie. Konvexnosť a konkávnosť funkcie. Inflexný bod.

7. Elementárne funkcie a ich základné vlastnosti.

8. Určitý integrál. Primitívna funkcia Hlavná veta integrálneho počtu. Newtonov - Leibnitzov vzorec.

9. Neurčitý integrál. Metóda per partes. Substitučná metóda.

10. ??? Integrovanie racionálnych funkcií.

11. Goniometrické substitúcie.

12. Eulerove substitúcie.