Matematická Analýza I

2015/2016 -- Zimný semester

Prednášajúci

• INFO a PKSS: doc. RNDr. Ľubomír Marko, PhD. lubomir.marko@stuba.sk

Cvičiaci

• Mgr. Petra Marinová, petra.marinova@stuba.sk

• Mgr. Michal Zákopčan, PhD. michal.zakopcan@stuba.sk

• Mgr. Viktória Žilková
• Mgr. Tomáš Źilka.

Stručná osnova predmetu

1. Úvod do štúdia. Prirodzené, racionálne a reálne čísla. Vlastnosti podmnožín číselnej osi. Funkcia, zložená funkcia, inverzná funkcia.
2. Spojitosť a limita funkcie. Nevlastná limita. Nerovnice pre limity.
3. Postupnosti reálnych čísel. Nekonečné číselné rady. Kritériá konvergencie.
4. Definícia elementárnych funkcií sin, cos, exp a niektoré ich základné vlastnosti.
5. Diferencovateľnosť funkcie. Rýchlosť pohybujúceho sa bodu po priamke. Spojitá funkcia na intervale.
6. Veta o nulovom bode a jej využitie pri hľadaní reálneho koreňa funkcie. Lokálne extrémy funkcie.
7. Rolleova, Lagrangeova a Cauchyho veta. Zisťovanie monotónnosti funkcie pomocou derivácie. Konvexnosť a konkávnosť funkcie. Inflexný bod.
8. Derivácia inverznej funkcie. Elementárne funkcie a ich základné vlastnosti.
9. Plošný obsah časti roviny. Práca vykonaná silou na priamke. Určitý integrál. Postačujúca podmienka integrovateľnosti na intervale. Aditívne vlastnosti integrálu na intervale. Stredná hodnota funkcie na intervale.
10. Integrál ako funkcia hornej hranice. Hlavná veta integrálneho počtu. Primitívna funkcia. Newtonov - Leibnitzov vzorec.
11. Neurčitý integrál a jeho základné vlastnosti. Metóda per partes. Substitučná metóda. Integrovanie racionálnych funkcií. Goniometrické a Eulerove substitúcie.
12. Aplikácie integrálneho počtu

Literatúra

1. Šulka, R. - Moravský, L. - Satko, L.: Matematická analýza I, Alfa, SNTL, Bratislava, 1986.
2. Brabec, J. - Martan, F. - Rozenský, Z.: Matematická analýza I, SNTL, Alfa, Praha, 1985.
3. Marko Ľ.: Matematická analýza I - on-line, Bratislava 2001
4. Blatter, Ch.: Analysis I, II, Springer-Verlag, Berlin, 1997.
5. Stroud, K.A.: Engineering Mathematics, Macmillan Press ltd, Hong Kong, 1993.
6. Sabolová, M., Satko, M.: Matematická Analýza I, Edičné stredisko STU, 2007

Podmienky na zápočet

1. Účasť na prednáškach a cvičeniach je nutným (nie postačujúcim) predpokladom pre úspešné zvládnutie predmetu.
2. Cvičenie je povinné, ospravedlnenie zo závažných dôvodov je možné dopredu, alebo najneskôr do piatich dní doložené patričným dokladom.
3. Celkové bodové hodnotenie Matematickej analýzy I je 100 bodov. Počas semestra môže študent získať 40 bodov, na skúške 60 bodov.
4. Na dvoch povinných testoch konaných počas semestra je možné získať maximálne 40 bodov. Testy sa budú písať na šiestom a desiatom alebo jedenástom cvičení počas semestra (40-45 minút čistého času). Obsahom prvého testu bude limita spojitosť a nekonečné rady. Obsahom druhého testu bude diferenciálny počet reálnej funkcie jednej reálnej premennej. Za každý z týchto testov bude možné získať maximálne 20 bodov. Súčasťou testov budú aj teoretické otázky.
5. Okrem 40 "zápočtových" bodov, budú mať učitelia na prednáškach, seminároch a cvičeniach právo udeľovať aj tzv. prémiové body. Prémiové body budú rovnocenné s povinnými bodmi.

6. Zápočet získava študent, ktorý počas semestra získal aspoň 20 bodov. Študent, ktorý počas semestra získa menej ako 15 bodov, definitívne stráca nárok na zápočet. Predmet bude musieť opakovať.

7. Dôležité: V poslednom týždni semestra sa budú písať opravné a náhradné testy. Opravný test môže písať len poslucháč, ktorý počas semestra dosiahol 15 až 19 bodov. Opravovať može len látku z toho testu, na ktorom počas semestra dosiahol nižší počet bodov. Výsledok opravného testu je definitívny (maximálne 20 bodov celkom ) a bude ním nahradený výsledok pôvodného testu. Jeden náhradný test môže písať poslucháč, ktorý sa ospravedlnil (choroba -lekárske svedectvo) z jedného testu počas semestra. Nepredpokladám, že sa niekto bude ospravedlňovať z oboch testov.

8. Skúška je písomná. Pozostáva z teoretických otázok (dá sa získať maximálne 20 bodov) a príkladov (dá sa získať maximálne 40 bodov).
9. Hodnotenie predmetu pozostáva zo súčtu bodov získaných počas semestra a na skúške. Na skúške vyžadujeme zisk aspoň 5 bodov z teórie a 15 bodov z príkladov (hlavne z integrálneho počtu, ktorý nebude predmetom zápočtových testov.) Výsledná známka pri splnení uvedených podmienok zodpovedá stupnici uverejnenej v študijnom programe FIIT. Ak poslucháč dosiahne "úspešný" výsledok, pri nesplnení podmienky o minimálnom počte bodov z teórie, musí sa dostaviť na "doskúšanie" teórie. V prípade dostatočného počtu bodov zo semestra a teórie, ale "nedostatočného" počtu bodov z príkladov (menej ako 15) je výsledkom skúšky "FX."
10. Na skúške sa nepoužívajú kalkulačky a mobilné telefóny.
11. Podvádzanie pri skúške má za následok hodnotenie nevyhovel.

Otázky ku skúške

• Základné pojmy: funkcia, zložená funkcia, injekcia, surjekcia, bijekcia, inverzná funkcia (1.1 Pomocné pojmy) , okolie bodu, hromadný bod (2.1 Úvodné pojmy).

  Elementárne funkcie: mocninová funkcia s prirodzeným exponentom, mocninová funkcia s reálnym exponentom, logaritmus, exponenciálna funkcia, trigonometrické funkcie, cyklometrické funkcie (Treba naštudovať z prednášok a cvičení.).

• Otázky (Obsah je číslovaný podľa skrípt Matematická analýza I z r.2007)

1. Definícia limity funkcie v bode (Definícia 12).
2. Veta o limite zúženia funkcie (Definícia 14, Veta 2 ).
3. Veta o limite zloženej funkcie (Veta 6).
4. Definícia spojitosti funkcie v bode, na množine a spojitosti (Definícia 13).
5. Definícia postupnosti reálnych čísel. Definícia konvergentnej postupnosti.(Definícia 18).
6. Definícia nekonečného radu, jeho konvergencie a súčtu (Definícia 21).
7. Bolzano-Cauchyho kritérium konvergencie nekonečného radu. (Veta 21).
8. Nutná podmienka konvergencie nekonečného radu. Uviesť príklad, že nie je postačujúcou podmienkou (Veta 22, harmonický rad).
9. Definícia majorantného radu, majorantné kritérium konvergencie nekonečného radu (Definícia 25, Veta 24, Dôsledok 3).
10. D' Alembertovo (podielové) kritérium konvergencie nekonečného radu (Veta 25).
11. Cauchyho (odmocninové) kritérium konvergencie nekonečného radu (Veta 26).
12. Definícia radu so striedavými znamienkami, kritérium o jeho konvergencii (Definícia 27, Veta 27).
13. Definícia diferencovateľnosti funkcie v bode (Definícia 29).
14. Veta o vzťahu diferencovateľnosti a spojitosti funkcie ( Veta 30).
15. Veta Rolleho, Lagrangeova a Cauchyho (Veta 36, Veta 37, Veta 38).
16. Veta o l'Hospitalových pravidlách (Veta 39).
17. Definícia monotónnosti funkcie (Definícia 34, Definícia 35). Postačujúca podmienka monotónnosti funkcie na intervale (Veta 40 a Veta 41).
18. Definícia konvexnosti a konkávnosti funkcie (Definícia 36, Definícia 37).
19. Postačujúca podmienka konvexnosti (konkávnosti) na intervale sformulovaná pomocou druhej derivácie (Veta 43, Veta 44).
20. Definícia integrovateľnosti funkcie (Definícia 39, Definícia 40).
21. Postačujúce podmienka integrovateľnosti funkcie (Veta 48, Definícia 41, Veta 49).
22. Funkcia hornej hranice integrálu a jej základná vlastnosť (Definícia 42, Veta 55).
23. Hlavná veta integrálneho počtu (Veta 56).
24. Definícia primitívnej funkcie a vety o jej existencii (Definícia 43, Veta 57).
25. Newtonova - Leibnitzova formula (Veta 58).
26. Veta o integrovaní metódou per partes (Veta 60, Dôsledok 5).
27. Prvá veta o integrovaní substitučnou metódou (Veta 61, Dôsledok 6).
28. Druhá veta o integrovaní substitučnou metódou (Veta 62, Dôsledok 7).

Harmonogram cvičení a testov

1. Inverzné funkcie. Definícia cyklometrických funkcií.

2. Spojitosť a limita funkcie.

3. Nevlastná limita. Nerovnice pre limity.

4. Postupnosť reálnych čísel. Nekonečné číselné rady. Kritéria konvergencie.

5. Kritéria konvergencie nekonečných radov - dokončenie.

6. Diferencovateľnosť funkcie. Pravidlá derivovania.

7. Aplikácie derivácií. Dotyčnica grafu funkcie, rýchlosť pohybujúceho sa bodu po priamke, atď. L'Hospitalovo pravidlo.

8. L'Hospital - dokončenie. Vyšetrovanie priebehu funkcií.

9. Vyšetrovanie priebehu funkcií.

10. Vyšetrovanie priebehu funkcií - dokončenie. Neurčitý a určitý integrál. Metóda per partes.

11. Substitučná metóda. Integrovanie racionálnych funkcií.

12. Niektoré význačné substitúcie. Plošný obsah rovinnej oblasti, poprípade ďalšie aplikácie.

Testy:

Skúšky:

Náhradný termín skúšky z Matematickej analýzy pre študentov, ktorí sa nemohli zúčastniť na riadnom alebo opravnom termíne a sú ospravedlnení v AIS bude dňa 9.2.2017 o 10.00 hod. v A-419 (FEI STU). Ľ. Marko

Zoznam študentov na opakovaný termín skúšky z MA 1: Zoznamma1opak.xlsx

Prednášky

Prednášky - pdf

Prednášky - ps

Cyklometrické funkcie

Ťahák

Ťahák - pdf

Príklady

Oznamy