Inžinierske diferenciálne rovnice

pre EE

Rozsah: 3/2

1. Obyčajné diferenciálne rovnice 2.rádu s konštantnými koeficientami modelujúce voľné a vynútené oscilácie. Modelovanie ich tlmenia a rezonancie.

2. Okrajové úlohy pre obyčajnú diferenciálnu rovnicu 2. rádu v samoadjungovanom tvare modelujúce stacionárny ohyb struny a stacionárne rozloženie teploty v tyči.

3. Sturmova-Liouvilleova úloha na vlastné hodnoty a vlastné funkcie. Vlastnosti vlastných hodnôt a vlastných funkcií obyčajného lineárneho diferenciálneho operátora druhého rádu.

4. Besselova rovnica, Besselove funkcie, ich vlastnosti.

5. Priestory L2(Ω) kvadraticky integrovateľných funkcií definovaných na oblasti Ω v m-rozmernom priestore. Ortogonálne systémy funkcií, Fourierove rady v priestore L2(Ω).

6. Parciálne diferenciálne rovnice 2.rádu v divergentnom tvare pre stacionárne rozloženie teploty v telese a stacionárny ohyb membrány. Špeciálny prípad rovníc s Laplaceovým operátorom.

7. Eliptická rovnica 2.rádu, eliptický operátor ako zovšeobecnenie rovníc rozloženia teploty a ohybu membrány. Niektoré špeciálne prípady: Laplaceova, Poissonova rovnica, aj v polárnych súradniciach. Eliptické okrajové úlohy. Podmienky jednoznačnosti ich riešenia.

8. Riešenie okrajových úloh na obdĺžniku, na kruhu a na valci použitím Fourierových radov a Besselových funkcií.

9. Úloha na vlastné hodnoty a vlastné funkcie eliptického operátora. Vlastnosti vlastných hodnôt a vlastných funkcií. Ich výpočet v prípade obdĺžnika a kruhu. Riešenie nehomogénnej eliptickej okrajovej úlohy pomocou vlastných hodnôt a vlastných funkcií.

10. Rovnica pre nestacionárne vedenie tepla v telese a nestacionárnu difúziu. Parabolická rovnica. Začiatočno-okrajová úloha pre parabolickú rovnicu. Fourierova metóda riešenia.

11. Vedenie tepla v nekonečne dlhej tyči. Začiatočná úloha pre parabolickú rovnicu na nekonečnom intervale. Integrálna formula pre jej riešenie.

12. Hyperbolická rovnica pre kmitanie struny a mebrány. Začiatočno-okrajová úloha pre hyperbolickú rovnicu. Vyjadrenie riešenia pomocou Fourierových radov. Špeciálne prípady obdĺžnikovej a kruhovej membrány. Schrodingerova rovnica a jej riešenie.

13. Začiatočná úloha pre kmitanie nekonečnej a polonekonečnej struny. Vyjadrenie riešenia v tvare D’Alembertovej formuly.

Literatúra:

Agarwal, R. P.- O´Regan, D.: Ordinary and partial differential equations. Springer, New York 2009

Arsenin, V. J.: Matematická fyzika, Alfa, Bratislava 1977.

Bock, I.: Matematická fyzika, SVŠT Bratislava 1987.

Bock, I.- Marko Ľ.: Diferenciálne rovnice, STU Bratislava 2001.

Goodwine, B.: Engineering differential equations. Springer, New York 2011.

Míka, S.- Kufner, A.: Okrajové úlohy pro obyčajné diferenciální rovnice, SNTL Praha, 1981.

Míka, S.- Kufner, A.: Parciální diferenciální rovnice, SNTL Praha, 1983.