Prémia 4

Bódi Peter

Následné maily:

Tranzitivita OK, antisymetrickost nie.
Nemozete len tak tvrdit, ze
x^y=y^x implikuje x=y.
Tym skor, ze to neplati... ked mi najdete protipriklad,
dostanete body.

On 10/9/06, Paul John <peter.bodi@yahoo.com> wrote:
> x^y = y^x ak (x=2 a y=4) alebo (x=4 a y=2) alebo x=y

Hej, ale mate povedat toto:

(2^4=4^2 )a zaroven (2 nie je rovne 4)

To je negacia tej implikacie.

OK?
GJ

Marek Bálint

{{{Dobry den, posielam riesenie premioveho prikladu z prednasky:

Zistite ci relacia ro na mnozine R+, kde R+ = (0,nekonecno), dana predpisom x ro y <=> x^{y =< y}x, je antisymetricka a tranzitivna:

(AS): Pre vsetky a,b patirace do A : (a ro b) a (b ro a) => a=b Pre vsetky x,y patriace do R+: (x^{y =< y}x) a (y^{x =< x}y) => x=y

Relacia =< je antisymetricka (ak t =< v a zaroven v =< t, potom t=v), preto (x^{y =< y}x) a (y^{x =< x}y) => (x^{y = y}x), potom: (x^{y = y}x) => x=y Tento vyrok je pravdivy (vyplyva to z vlastnosti realnych cisel a exponencialnej funkcie), preto relacia ro je antisymetricka.

Dokaz vyroku (x^{y = y}x) => x=y:

• x^{y = y}x | Pre vsetky x,y patriace R+ existuje take k patriace R+, ze y=kx

• x^{(kx) = (kx)}x | ^1/x (x patri R+ a teda je rozne od nuly)

  • x^k = kx | /x

x^(k-1) = k

• k = 1 (pre vsetky x patri R+)

Po dosadeni do y=kx dostavame y=1.x a teda x=y, preto je vyrok pravdivy.

(T): Pre vsetky a,b,c patriace do A : (a ro b) a (b ro c) => (a ro c) Pre vsetky x,y,z patriace do R+: (x^{y =< y}x) a (y^{z =< z}y) => (x^{z =< z}x)

Lava strana implikacie tvori sustavu dvoch nerovnic: (x^{y =< y}x) | ^1/x (x patri R+ a teda je rozne od nuly) (z^{y >= y}z) | ^1/z (z patri R+ a teda je rozne od nuly)

x^(y/x) =< y z^(y/z) >= y

x^{(y/x) =< y =< z}(y/z) x^{(y/x) =< z}(y/z) | ^1/y (y patri R+ a teda je rozne od nuly) x^{(1/x) =< z}(1/z) | ^xz

• x^{z =< z}x

Co je prava strana implikacie, ktoru sme chceli dokazat, relacia ro je tranzitivna.

(R) neviem, ci v zadani reflexivnost schvalne nebola, pretoze je jednoducha, alebo len omylom vypadla, takze radsej aj ta: Pre vsetky a patriace do A : a ro a Pre vsetky x patriace do R+: x^{x =< x}x x^x je (mensie, alebo) rovne samo sebe, relacia je reflexivna.

Dana relacia je ciastocne usporiadanie (je reflexivna, antisymetricka a tranzitivna).

Oznacenie: a - logicka spojka AND <=> - ekvivalencia => - implikacia =< - je mensie >= - je vacsie x^y - x umocnene na y

Marek Balint, kr. 22, os. c. 24654 }}} Následná konverzácia:

Skoro celkom dobre, chvalim Vas.

Tranzitivita je dobre (a velmi pekne), ale antisymetrickost nie.
Relacia *nie* je antisymetricka.
Ked mi poslete protipriklad na antisymetrickost, dostanete body.

On 10/4/06, Marek Bálint <balint@voidsystems.sk> wrote:
> Dobry den,
> posielam riesenie premioveho prikladu z prednasky:
>
> Zistite ci relacia ro na mnozine R+, kde R+ = (0,nekonecno), dana predpisom x ro y <=> x^y =< y^x, je antisymetricka a tranzitivna:
>
> (AS):
> Pre vsetky a,b patirace do A : (a ro b) a (b ro a) => a=b
> Pre vsetky x,y patriace do R+: (x^y =< y^x) a (y^x =< x^y) => x=y
>
> Relacia =< je antisymetricka (ak t =< v a zaroven v =< t, potom t=v),
> preto (x^y =< y^x) a (y^x =< x^y) => (x^y = y^x), potom:
> (x^y = y^x) => x=y
> Tento vyrok je pravdivy (vyplyva to z vlastnosti realnych cisel a exponencialnej funkcie),
> preto relacia ro je antisymetricka.
>
> Dokaz vyroku (x^y = y^x) => x=y:

Tento vyrok nie je pravdivy. Podme hladat chybu
v dokaze:

>     x^y = y^x     | Pre vsetky x,y patriace R+ existuje take k patriace R+, ze y=kx

Ano, ano, to je ten trik.

>  x^(kx) = (kx)^x  | ^1/x (x patri R+ a teda je rozne od nuly)
>     x^k = kx      | /x
> x^(k-1) = k

Potialto dobre, ale ako z toho usudite, ze k=1?
Mozem sa len dohadovat, ze
sa vam mozno zahmlil zrak a videli ste
 x^(k-1) = x ; z toho samozrejme vyplyva, ze k=1.

Viete najst x,k take, ze k<>1 a x^(k-1) =k?
Ak ano, mate hned x,y ktore su protipriklad na antisymetrickost!
Poslite mi to x,y a mate body.

Ano, spravil som chybu, protipriklad je:
(x^y = y^x) => x=y  | x=2, y=4
(2^4 = 4^2) => 2=4  (16 = 16, ale 2 != 4)
2 sa nerovna 4, preto vyrok nie je pravdivy a relacia ro nie je antisymetricka (a preto tiez nie je ciastocnym usporiadanim).

Protiprikladov je viac, staci, aby sme vo vyraze x^(k-1) = k zvolili x a k tak, ze x = k^(1/k-1), t.j. x je rovne (k-1) odmocnine z k (samozrejme v ramci moznosti odmocniny - k je rozne od 1), napr.:

Pre k=3, x=3^(1/2):
       x^(k-1) = k
(3^(1/2))^(3-1) = 3
       3^(2/2) = 3
             3 = 3
potom:
x = 3^(1/2)
y = kx = 3*3^(1/2)
a teda x != y

Pre k = 1 moze byt x lubovolne: (nemal som zahmleny, ale skor kratky zrak a povodne som to uz od tadeto dalej neriesil, preto som spravil chybu)
x^(k-1) = k
   x^0 = 1