Diferenciálne rovnice - numerické metódy

pre ME a RE

Rozsah: 2/2

1. Začiatočná úloha pre obyčajné diferenciálne rovnice 2.rádu s konštantnými koeficientami modelujúce voľné a vynútené oscilácie. Modelovanie ich tlmenia a rezonancie.

2. Okrajová úloha pre obyčajnú diferenciálnu rovnicu 2. rádu v samoadjungovanom tvare modelujúca stacionárny ohyb struny a stacionárne rozloženie teploty v tyči. Jej variačná formulácia a numerická aproximácia.

3. Sturmova-Liouvilleova úloha na vlastné hodnoty a vlastné funkcie. Vlastnosti vlastných hodnôt a vlastných funkcií obyčajného lineárneho diferenciálneho operátora druhého rádu.

4. Priestory L2(Ω) kvadraticky integrovateľných funkcií definovaných na oblasti Ω v m-rozmernom priestore. Ortogonálne systémy funkcií, Fourierove rady v priestore L2(Ω).

5. Parciálne diferenciálne rovnice 2.rádu v divergentnom tvare pre stacionárne rozloženie teploty v telese a stacionárny ohyb membrány. Špeciálny prípad rovníc s Laplaceovým operátorom.

6. Eliptická rovnica 2.rádu, eliptický operátor ako zovšeobecnenie rovníc rozloženia teploty a ohybu membrány. Niektoré špeciálne prípady: Laplaceova, Poissonova rovnica, aj v polárnych súradniciach. Eliptické okrajové úlohy. Podmienky jednoznačnosti ich riešenia.

7. Riešenie okrajových úloh na obdĺžniku, na kruhu a jeho častiach použitím Fourierových radov.

8. Úloha na vlastné hodnoty a vlastné funkcie eliptického operátora. Vlastnosti vlastných hodnôt a vlastných funkcií. Ich výpočet v prípade obdĺžnika a kruhu. Riešenie nehomogénnej eliptickej okrajovej úlohy pomocou vlastných hodnôt a vlastných funkcií.

9. Diferenčná metóda riešenia eliptických okrajových úloh na polygonálnych oblastiach v rovine.

10. Rovnica pre nestacionárne vedenie tepla v telese a nestacionárnu difúziu. Parabolická rovnica. Začiatočno-okrajová úloha pre parabolickú rovnicu. Fourierova metóda riešenia.

11. Variačno-diferenčná metóda riešenia rovnice jednorozmerného vedenia tepla.

12. Hyperbolická rovnica pre kmitanie struny a mebrány. Začiatočno-okrajová úloha pre hyperbolickú rovnicu. Vyjadrenie riešenia pomocou Fourierových radov. Schrodingerova rovnica a jej riešenie.

13. Začiatočná úloha pre kmitanie nekonečnej a polonekonečnej struny. Vyjadrenie riešenia v tvare D’Alembertovej formuly.

Literatúra:

Agarwal, R. P.- O´Regan, D.: Ordinary and partial differential equations. Springer, New York 2009

Arsenin, V. J.: Matematická fyzika, Alfa, Bratislava 1977.

Bock, I.: Matematická fyzika, SVŠT Bratislava 1987.

Bock, I.- Marko Ľ.: Diferenciálne rovnice, STU Bratislava 2001.

Goodwine, B.: Engineering differential equations. Springer, New York 2011.

Míka, S.- Kufner, A.: Okrajové úlohy pro obyčajné diferenciální rovnice, SNTL Praha, 1981.

Míka, S.- Kufner, A.: Parciální diferenciální rovnice, SNTL Praha, 1983.