Parciálne diferenciálne rovnice, Parciálne diferenciálne rovnice-numerické metódy
prof. RNDr. Igor Bock, PhD., igor.bock@stuba.sk
Matematika pre doktorandov
Prednáška ZS - utorok, 10.00-11.40, E131
Parciálne diferenciálne rovnice, Parciálne diferenciálne rovnice-numerické metódy
2014/15 -- zimný semester, rozsah 2/2
Prednáška - utorok, 13.00-14.40, AB35; cvičenie - utorok, 15.00-16.40, AB35
Konzultačné hodiny - utorok, 16.45-18.00, A405, doporučujem dohovor emailom, alebo osobne, aj na prípadný iný termín
Výsledky a riešenia
Zmena časov a miestností skúšok:
Riadne termíny skúšok: 17.12 11.00 AB300, 19.12 11.00 AB300, 7.1 14.00 AB150
Sylaby k skúške
teoria_PDR_NM_teoria_skuska.pdf
- Pozretie písomiek 9.1. 10.30-11.30; 12.1. 12.30-14.00 A405
Posledné termíny skúšok 27.1. 11.00 BC35; 2.2. 11.00 BC150
Stručná osnova predmetu
1. Úvod – stacionárne rovnice 2. rádu, všeobecne. Priestory spojitých a integrovateľných funkcií definovaných na ohraničenej oblasti Ω v m-rozmernom priestore. Skalárny súčin a norma funkcie a konvergencia (v strede) v priestore kvadraticky integrovateľných funkcií.
2. Ortogonálne systémy a Fourierove (ortogonálne) rady. Hranica oblasti, jednotkový normálový vektor v jedno, dvoj a trojrozmernom prípade. Integrál po hranici ako neorientovaný krivkový a plošný integrál. Integrácia per partes ako zovšeobecnenie jednorozmerného prípadu. Gaussova-Ostrogradského formula.
3. Okrajové úlohy pre obyčajnú diferenciálnu rovnicu 2. rádu v samoadjungovanom tvare. Jednotlivé typy okrajových podmienok. Sturmova-Liouvilleova úloha na vlastné hodnoty a vlastné funkcie.
4. Vlastnosti vlastných hodnôt a vlastných funkcií obyčajného diferenciálneho operátora druhého rádu.
5. Odvodenie rovnice pre stacionárne rozloženie teploty v telese a pre stacionárny ohyb membrány. Eliptická rovnica , eliptický operátor , špeciálne Laplaceov operátor, Laplaceova, Poissonova rovnica.
6.Eliptické okrajové úlohy. Podmienky jednoznačnosti ich riešenia. Vlastnosti eliptického operátora. Laplaceov operátor v polárnych súradniciach. Riešenie Laplaceovej rovnice s nehonmogénnymi okraj. podmienkami pre obdĺžnik a kruh.
7. Úloha na vlastné hodnoty a vlastné funkcie eliptického operátora. Vlastnosti vlastných hodnôt a vlastných funkcií. Riešenie nehomogénnej eliptickej okrajovej úlohy pomocou vlastných hodnôt a vlastných funkcií.
8. Odvodenie rovnice pre nestacionárne rozloženie teploty v telese a difúziu. Parabolická diferenciálna rovnica.
9. Začiatočno-okrajová úloha pre parabolickú rovnicu. Odvodenie jednoznačnosti jej riešenia. Vyjadrenie riešenia pomocou vlastných hodnôt a vlastných funkcií.
10. Vyjadrenie riešenia začiatočno-okrajovej úlohy pre parabolickú rovnicu pomocou vlastných hodnôt a vlastných funkcií.
11. Hyperbolická diferenciálna rovnica (rovnica kmitania struny a membrány). Začiatočno-okrajová úloha pre hyperbolickú rovnicu. Odvodenie jednoznačnosti jej riešenia. Vyjadrenie riešenia pomocou vlastných hodnôt a vlastných funkcií.
Literatúra
Arsenin, V. J.: Matematická fyzika, Alfa, Bratislava 1977.
Bock, I.: Matematická fyzika, SVŠT Bratislava 1987.
Bock, I.- Marko Ľ.: Diferenciálne rovnice, STU Bratislava 2001.
Míka, S.- Kufner, A.: Okrajové úlohy pro obyčajné diferenciální rovnice, SNTL Praha, 1981.
Míka, S.- Kufner, A.: Parciální diferenciální rovnice, SNTL Praha, 1983.
Podmienky na zápočet a skúšku
- Na povinných testoch konaných počas semestra je možné získať maximálne 40 bodov.
- Zápočet získava študent s 15-40 bodmi získanými počas semestra.
- Skúška je písomná. Pozostáva z teoretických otázok (dá sa získať maximálne 20 bodov, 5 bodov je nutných na urobenie skúšky) a príkladov (dá sa získať maximálne 40 bodov).
- Hodnotenie skúšky pozostáva zo súčtu bodov získaných počas semestra a na skúške. Výsledná známka zodpovedá stupnici uverejnenej v študijnom programe.
- Počas písania príkladov je možné používať ako pomôcku dva listy papiera popísané z oboch strán.
Príklady a cvičenia
obycdif.pdf elipticke.pdf rieseneopr.pdf parabol.pdf hyperbol.pdf pdr_strucne.zip