Revision 500 as of 2016-11-04 13:16:22

Clear message

Matematika

2016/17 -- zimný semester, rozsah 2/2

Prednáška - pondelok, 13.00-14.40, E131; cvičenie - pondelok, 15.00-16.40, E131

Súbor s riešeniami treba stiahnúť k sebe

Stručná osnova predmetu

1. Úvod – stacionárne rovnice 2. rádu, všeobecne. Priestory spojitých a integrovateľných funkcií definovaných na ohraničenej oblasti Ω v m-rozmernom priestore . Skalárny súčin a norma funkcie a konvergencia (v strede) v priestore kvadraticky integrovateľných funkcií.

2. Ortogonálne systémy a Fourierove (ortogonálne) rady. Hranica oblasti, jednotkový normálový vektor v jedno, dvoj a trojrozmernom prípade . Integrál po hranici ako neorientovaný krivkový a plošný integrál. Integrácia per partes ako zovšeobecnenie jednorozmerného prípadu. Gaussova-Ostrogradského formula.

3. Okrajové úlohy pre obyčajnú diferenciálnu rovnicu 2. rádu v samoadjungovanom tvare. Jednotlivé typy okrajových podmienok. Sturmova-Liouvilleova úloha na vlastné hodnoty a vlastné funkcie.

4. Vlastnosti vlastných hodnôt a vlastných funkcií obyčajného diferenciálneho operátora druhého rádu. Besselove funkcie, ich odvodenie a vlastnosti.

5. Odvodenie rovnice pre stacionárne rozloženie teploty v telese a pre stacionárny ohyb membrány. Eliptická rovnica , eliptický operátor , špeciálne Laplaceov operátor, Laplaceova, Poissonova rovnica.

6.Eliptické okrajové úlohy. Podmienky jednoznačnosti ich riešenia. Vlastnosti eliptického operátora (symetria, kladnosť). Laplaceov operátor v polárnych a cylindrických súradniciach. Riešenie Laplaceovej rovnice s nehonmogénnymi okraj. podmienkami pre obdĺžnik a kruh.

7. Úloha na vlastné hodnoty a vlastné funkcie eliptického operátora. Vlastnosti vlastných hodnôt a vlastných funkcií. Riešenie nehomogénnej eliptickej okrajovej úlohy pomocou vlastných hodnôt a vlastných funkcií. Špeciálny prípad obdĺžnika a kruhu.

8. Odvodenie rovnice pre nestacionárne rozloženie teploty v telese a difúziu. Parabolická diferenciálna rovnica.

9. Začiatočno-okrajová úloha pre parabolickú rovnicu. Vyjadrenie riešenia pomocou vlastných hodnôt a vlastných funkcií.

10. Vedenie tepla v nekonečnej tyči.

11. Hyperbolická diferenciálna rovnica (rovnica kmitania struny a membrány). Začiatočno-okrajová úloha pre hyperbolickú rovnicu. Vyjadrenie riešenia pomocou vlastných hodnôt a vlastných funkcií.

12. Kmitanie nekonečnej struny. D’Alembertov vzorec, odvodenie a jeho interpretácia.

Literatúra

Arsenin, V. J.: Matematická fyzika, Alfa, Bratislava 1977.

Bock, I.: Matematická fyzika, SVŠT Bratislava 1987.

Bock, I.- Marko Ľ.: Diferenciálne rovnice, STU Bratislava 2001.

Míka, S.- Kufner, A.: Okrajové úlohy pro obyčajné diferenciální rovnice, SNTL Praha, 1981.

Míka, S.- Kufner, A.: Parciální diferenciální rovnice, SNTL Praha, 1983.

Podmienky na zápočet a skúšku

  1. Na povinných testoch konaných počas semestra je možné získať maximálne 40 bodov.
  2. Zápočet získava študent s 15-40 bodmi získanými počas semestra.
  3. Skúška je písomná. Pozostáva z teoretických otázok (dá sa získať maximálne 20 bodov, 5 bodov je nutných na urobenie skúšky) a príkladov (dá sa získať maximálne 40 bodov).
  4. Hodnotenie skúšky pozostáva zo súčtu bodov získaných počas semestra a na skúške. Výsledná známka zodpovedá stupnici uverejnenej v študijnom programe.
  5. Počas písania príkladov je možné používať ako pomôcku dva listy papiera popísané z oboch strán.

Príklady a cvičenia

obycdif.pdf elipticke.pdf rieseneopr.pdf parabol.pdf hyperbol.pdf pdr_strucne.zip mat.fyzika.zip