= Prémia 4 = <> == Bódi Peter == {{attachment:bodi_peter_premia_4.gif}} Následné maily: {{{ Tranzitivita OK, antisymetrickost nie. Nemozete len tak tvrdit, ze x^y=y^x implikuje x=y. Tym skor, ze to neplati... ked mi najdete protipriklad, dostanete body. }}} {{{ On 10/9/06, Paul John wrote: > x^y = y^x ak (x=2 a y=4) alebo (x=4 a y=2) alebo x=y Hej, ale mate povedat toto: (2^4=4^2 )a zaroven (2 nie je rovne 4) To je negacia tej implikacie. OK? GJ }}} <> == Marek Bálint == {{{Dobry den, posielam riesenie premioveho prikladu z prednasky: Zistite ci relacia ro na mnozine R+, kde R+ = (0,nekonecno), dana predpisom x ro y <=> x^y =< y^x, je antisymetricka a tranzitivna: (AS): Pre vsetky a,b patirace do A : (a ro b) a (b ro a) => a=b Pre vsetky x,y patriace do R+: (x^y =< y^x) a (y^x =< x^y) => x=y Relacia =< je antisymetricka (ak t =< v a zaroven v =< t, potom t=v), preto (x^y =< y^x) a (y^x =< x^y) => (x^y = y^x), potom: (x^y = y^x) => x=y Tento vyrok je pravdivy (vyplyva to z vlastnosti realnych cisel a exponencialnej funkcie), preto relacia ro je antisymetricka. Dokaz vyroku (x^y = y^x) => x=y: x^y = y^x | Pre vsetky x,y patriace R+ existuje take k patriace R+, ze y=kx x^(kx) = (kx)^x | ^1/x (x patri R+ a teda je rozne od nuly) x^k = kx | /x x^(k-1) = k k = 1 (pre vsetky x patri R+) Po dosadeni do y=kx dostavame y=1.x a teda x=y, preto je vyrok pravdivy. (T): Pre vsetky a,b,c patriace do A : (a ro b) a (b ro c) => (a ro c) Pre vsetky x,y,z patriace do R+: (x^y =< y^x) a (y^z =< z^y) => (x^z =< z^x) Lava strana implikacie tvori sustavu dvoch nerovnic: (x^y =< y^x) | ^1/x (x patri R+ a teda je rozne od nuly) (z^y >= y^z) | ^1/z (z patri R+ a teda je rozne od nuly) ------------ x^(y/x) =< y z^(y/z) >= y ------------ x^(y/x) =< y =< z^(y/z) x^(y/x) =< z^(y/z) | ^1/y (y patri R+ a teda je rozne od nuly) x^(1/x) =< z^(1/z) | ^xz x^z =< z^x Co je prava strana implikacie, ktoru sme chceli dokazat, relacia ro je tranzitivna. (R) neviem, ci v zadani reflexivnost schvalne nebola, pretoze je jednoducha, alebo len omylom vypadla, takze radsej aj ta: Pre vsetky a patriace do A : a ro a Pre vsetky x patriace do R+: x^x =< x^x x^x je (mensie, alebo) rovne samo sebe, relacia je reflexivna. Dana relacia je ciastocne usporiadanie (je reflexivna, antisymetricka a tranzitivna). Oznacenie: a - logicka spojka AND <=> - ekvivalencia => - implikacia =< - je mensie >= - je vacsie x^y - x umocnene na y Marek Balint, kr. 22, os. c. 24654 }}} Následná konverzácia: {{{ Skoro celkom dobre, chvalim Vas. Tranzitivita je dobre (a velmi pekne), ale antisymetrickost nie. Relacia *nie* je antisymetricka. Ked mi poslete protipriklad na antisymetrickost, dostanete body. On 10/4/06, Marek Bálint wrote: > Dobry den, > posielam riesenie premioveho prikladu z prednasky: > > Zistite ci relacia ro na mnozine R+, kde R+ = (0,nekonecno), dana predpisom x ro y <=> x^y =< y^x, je antisymetricka a tranzitivna: > > (AS): > Pre vsetky a,b patirace do A : (a ro b) a (b ro a) => a=b > Pre vsetky x,y patriace do R+: (x^y =< y^x) a (y^x =< x^y) => x=y > > Relacia =< je antisymetricka (ak t =< v a zaroven v =< t, potom t=v), > preto (x^y =< y^x) a (y^x =< x^y) => (x^y = y^x), potom: > (x^y = y^x) => x=y > Tento vyrok je pravdivy (vyplyva to z vlastnosti realnych cisel a exponencialnej funkcie), > preto relacia ro je antisymetricka. > > Dokaz vyroku (x^y = y^x) => x=y: Tento vyrok nie je pravdivy. Podme hladat chybu v dokaze: > x^y = y^x | Pre vsetky x,y patriace R+ existuje take k patriace R+, ze y=kx Ano, ano, to je ten trik. > x^(kx) = (kx)^x | ^1/x (x patri R+ a teda je rozne od nuly) > x^k = kx | /x > x^(k-1) = k Potialto dobre, ale ako z toho usudite, ze k=1? Mozem sa len dohadovat, ze sa vam mozno zahmlil zrak a videli ste x^(k-1) = x ; z toho samozrejme vyplyva, ze k=1. Viete najst x,k take, ze k<>1 a x^(k-1) =k? Ak ano, mate hned x,y ktore su protipriklad na antisymetrickost! Poslite mi to x,y a mate body. }}} {{{ Ano, spravil som chybu, protipriklad je: (x^y = y^x) => x=y | x=2, y=4 (2^4 = 4^2) => 2=4 (16 = 16, ale 2 != 4) 2 sa nerovna 4, preto vyrok nie je pravdivy a relacia ro nie je antisymetricka (a preto tiez nie je ciastocnym usporiadanim). Protiprikladov je viac, staci, aby sme vo vyraze x^(k-1) = k zvolili x a k tak, ze x = k^(1/k-1), t.j. x je rovne (k-1) odmocnine z k (samozrejme v ramci moznosti odmocniny - k je rozne od 1), napr.: Pre k=3, x=3^(1/2): x^(k-1) = k (3^(1/2))^(3-1) = 3 3^(2/2) = 3 3 = 3 potom: x = 3^(1/2) y = kx = 3*3^(1/2) a teda x != y Pre k = 1 moze byt x lubovolne: (nemal som zahmleny, ale skor kratky zrak a povodne som to uz od tadeto dalej neriesil, preto som spravil chybu) x^(k-1) = k x^0 = 1 }}}