= Diferenciálne rovnice - numerické metódy =

pre ME a RE

Rozsah: 2/2


1.	Začiatočná úloha pre obyčajné diferenciálne rovnice 2.rádu s konštantnými koeficientami modelujúce voľné a vynútené oscilácie. Modelovanie ich tlmenia a  rezonancie.   

2.	Okrajová úloha pre obyčajnú diferenciálnu rovnicu 2. rádu v samoadjungovanom tvare  modelujúca stacionárny ohyb struny a stacionárne rozloženie teploty v tyči. Jej  variačná formulácia a numerická aproximácia. 

3.	Sturmova-Liouvilleova úloha na vlastné hodnoty a vlastné funkcie. Vlastnosti vlastných hodnôt a vlastných funkcií obyčajného lineárneho diferenciálneho operátora druhého rádu.  

4.	Priestory L2(Ω) kvadraticky integrovateľných funkcií definovaných na oblasti Ω v m-rozmernom priestore. Ortogonálne systémy funkcií, Fourierove rady v priestore L2(Ω).

5.	Parciálne diferenciálne rovnice 2.rádu v divergentnom tvare pre stacionárne rozloženie teploty v telese a stacionárny ohyb membrány. Špeciálny prípad rovníc s Laplaceovým operátorom.

6.	Eliptická rovnica 2.rádu, eliptický operátor ako zovšeobecnenie rovníc rozloženia teploty a ohybu membrány. Niektoré špeciálne prípady: Laplaceova, Poissonova rovnica, aj v polárnych súradniciach. Eliptické okrajové úlohy. Podmienky jednoznačnosti ich riešenia. 

7.	Riešenie okrajových úloh na obdĺžniku, na kruhu a jeho častiach použitím Fourierových radov. 

8.	 Úloha na vlastné hodnoty a vlastné funkcie eliptického operátora. Vlastnosti vlastných hodnôt a vlastných funkcií. Ich výpočet v prípade obdĺžnika a kruhu. Riešenie nehomogénnej eliptickej okrajovej úlohy pomocou vlastných hodnôt a vlastných funkcií.  

9.	Diferenčná metóda riešenia eliptických okrajových úloh na polygonálnych oblastiach v rovine. 

10.	Rovnica pre nestacionárne vedenie tepla v telese a nestacionárnu difúziu. Parabolická  rovnica. Začiatočno-okrajová úloha pre parabolickú rovnicu. Fourierova metóda riešenia.

11.	Variačno-diferenčná metóda riešenia rovnice jednorozmerného vedenia tepla. 

12.	  Hyperbolická rovnica pre kmitanie struny a mebrány. Začiatočno-okrajová úloha 
pre hyperbolickú rovnicu. Vyjadrenie riešenia pomocou Fourierových radov.  Schrodingerova rovnica a jej riešenie.

13.	Začiatočná úloha pre kmitanie nekonečnej a polonekonečnej struny. Vyjadrenie riešenia v tvare D’Alembertovej formuly.     


== Literatúra: ==

Agarwal, R. P.- O´Regan, D.: Ordinary and partial differential equations. Springer, New York 2009
 
Arsenin, V. J.: Matematická fyzika, Alfa, Bratislava 1977.

Bock, I.: Matematická fyzika, SVŠT Bratislava 1987. 

Bock, I.- Marko Ľ.: Diferenciálne rovnice, STU Bratislava 2001. 

Goodwine, B.: Engineering differential equations. Springer, New York 2011. 

Míka, S.- Kufner, A.: Okrajové úlohy pro obyčajné diferenciální rovnice, SNTL Praha, 1981. 

Míka, S.- Kufner, A.: Parciální diferenciální rovnice, SNTL Praha, 1983.