Oddelenie matematiky
Differences between revisions 20 and 21
| Deletions are marked like this. | Additions are marked like this. |
| Line 14: | Line 14: |
| [attachment:smolinsky1.pdf Riešenie (Smolinský)] | [[attachment:smolinsky1.pdf|Riešenie (Smolinský)]] |
| Line 32: | Line 32: |
| [attachment:andruska2.pdf Riešenie (Andruška)] | [[attachment:andruska2.pdf|Riešenie (Andruška)]] |
| Line 46: | Line 46: |
| [:/Premia3: Riešenia s mojimi komentármi] | [[/Premia3| Riešenia s mojimi komentármi]] |
| Line 57: | Line 57: |
| [:/Premia4: Riešenia s mojimi komentármi] | [[/Premia4| Riešenia s mojimi komentármi]] |
| Line 66: | Line 66: |
| attachment:polacik_5.bmp | {{attachment:polacik_5.bmp}} |
| Line 80: | Line 80: |
| attachment:nemsila_6.pdf | [[attachment:nemsila_6.pdf]] |
| Line 84: | Line 84: |
| inline:pavlik_6.jpg | {{attachment:pavlik_6.jpg}} |
| Line 92: | Line 92: |
| Riešenie [:/Premia7Spacek: Pali Spacek (?) + iné riešenie] | Riešenie [[/Premia7Spacek| Pali Spacek (?) + iné riešenie]] |
Riešenia prémií z predmetu Algebry a grafy
Prémia 1
(6 bodov) Dokážte, že ak A,B,C sú množiny také, že
a zároveň
Math(A\cap B=B\cap C=A\cap C,) potom platí A=B=C.
Prémia 2
(6 bodov) Nájdite systém (množinu množín) Math(\{A_i\}_{i\in I}) (I je množina indexov) s takýmito vlastnosťami:
Pre každú konečnú množinu Math(F\subseteq I) platí, že Math(\big\cap_{i\in F}A_i\not =\emptyset).
Komentár: Bolo dosť rozšírené presvedčenie, že I je konečná množina. Pre konečné I však riešenie neexistuje! Ak položíme F=I, dostaneme totiž toto:
To je pochopiteľne v spore. Teda I musí byť nekonečná.
Prémia 3
(10 bodov) Dokážte De Morganov zákon
pre množiny čisto pomocou základných rovností uvedených na prednáške. Okrem základných rovností môžete použit idempotentnosť prieniku, resp. zjednotenia:
{$ A\cap A=A,~A\cup A=A $}
Prémia 4
(8 bodov) Zistite, či je relácia {$\rho\subseteq R+\times R+$}, kde {$R^+$} je reálny interval {$(0,\infty)$} daná predpisom
{$x\rho y:\Leftrightarrow \sqrt[x]{y}\leq\sqrt[y]{x}$}
reflexívna, symetrická, antisymetrická, tranzitívna.
Prémia 5
(5 bodov)
Nájdite poset, ktorý má práve jeden maximálny prvok a nemá žiaden minimálny.
Riešenie: (Poláčik) 
Prémia 6
(8 bodov)
Na množine všetkých kružníc v rovine je definovaná operácia {$*$} daná predpisom
takto: {$k_1 *k_2$}:=kružnica s najmenším možným polomerom, obsahujúca {$k_1,k_2$} vo svojom vnútri.
Zistite, či {$*$} je asociatívna.
Riešenie (Nemsila) nemsila_6.pdf
Riešenie (Adam Pavlík). K1,K2,K3 majú nulový polomer.
Prémia 7
(12 bodov)
Dokážte, že ak H je podgrupa (Z,+), potom H=k.Z pre nejaké prirodzené k.
Riešenie Pali Spacek (?) + iné riešenie