= Riešenie prémie 7 =

Toto je až príliš podrobné, nie všetko bolo treba.

[[attachment:spacek7_1.jpg|Strana 1]]

[[attachment:spacek7_2.jpg|Strana 2]]

------

''Iný dôkaz (náčrt):''

Ak {$H$} je podgrupa {$Z$}, potom buď {$H=\{0\}$} a teda {$H=0.Z$}, alebo {$H$} obsahuje nejaké
kladné prvky.

Nech teda {$H$} obsahuje nejaké kladné prvky. Nech {$k$} je najmenší kladný prvok v {$H$}. Zrejme
{$k.Z\subseteq H$}.

Poďme teraz dokázať, že {$k.Z\supseteq H$}.

Ak {$a,b$} sú kladné prvky {$H$}, potom ich najmenší spoločný násobok {$gcd(a,b)$} je kladný a je tiež z H;
to vyplýva z korektnosti Euklidovho algoritmu.

Nech teraz {$a\in H$}, {$a>0$}. Potom {$0<gcd(a,k)\leq k$}. Keďže {$k$} je najmenší kladný prvok
v {$H$}, z toho vyplýva, že {$gcd(a,k)=k$}. Teda {$k$} je deliteľom {$a$}, {$a\in k.Z$}

Ak {$a\in H$}, {$a<0$}, môžeme urobiť rovnakú úvahu pre {$-a$} a vidíme, že {$k$} je deliteľom {$-a$} a teda aj
{$a$} a {$a\in k.Z$}.

Ak {$a=0$}, zrejme {$a\in k.Z$}.

Teda každé {$a\in H$} patrí aj do {$k.Z$} a to znamená {$k.Z\supseteq H$}.